A soma das medidas das 12 arestas de um paralelepípedo reto retângulo é 20. Dado que a diagonal do sólido mede √15, podemos afirmar corretamente que a sua área total é igual a...?
Soluções para a tarefa
A figura tem 12 arestas, 4 a 4 iguais (4 alturas, 4 comprimentos, 4 larguras)
S=4(a+b+c)=20
a+b+c=5
A diagonal (ao quadrado) pode ser obtida pela seguinte expressão:
Área total:
A=2(ab+ac+bc)
Veja o que obtemos pela conta abaixo:
Espero ter ajudado!
Bom desempenho à vocês!
A área total do paralelepípedo é 10 unidades de área.
Sabemos que a soma das 12 arestas é igual a 20 unidades de comprimento. Um paralelepípedo possui 12 arestas e 3 dimensões, logo, cada dimensão representa 4 arestas que chamaremos de x, y e z. Então:
20 = x + x + x + x + y + y + y + y + z + z + z + z
20 = 4x + 4y + 4z
20 = 4(x + y + z)
x + y + z = 5
A diagonal de um paralelepípedo é dada pela fórmula:
√a²+b²+c²
Sabemos que essa diagonal mede √15 unidades, logo:
√15 = √x²+y²+z²
15 = x²+y²+z²
A área total do paralelepípedo é dada pelo dobro da soma dos produtos entre as dimensões, ou seja:
At = 2(xy + xz + yz)
Elevando a primeira equação ao quadrado, temos:
(x + y + z)² = 25
x² + xy + xz + y² + yx + yz + z² + zx + zy = 25
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 25
(x² + y² + z²) + 2(xy + xz + yz) = 25
15 + 2(xy + xz + yz) = 25
2(xy + xz + yz) = 25 - 15
At = 10 unidades de área
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A = 25 - √15