Question

A soma das idades de Sandro e de Lucas é
18 anos. Há três anos, o produto de suas
idades era 32 anos. Sabendo que Sandro
é o mais velho, qual é a idade de cada um
deles?




com o cálculo por favor!!​

Answer 1

Este exercício envolve sistema de equações e, para facilitar, vamos chamar de "S" a idade atual de Sandro e "L" a idade atual de Lucas.

A primeira sentença nos diz que "A soma das idades de Sandro e de Lucas é  18 anos", vamos representar matematicamente essa sentença por uma equação:

$\boxed{S~+~L~=~18}$

Na segunda sentença, o texto se refere a um tempo passado (3 anos atrás), logo Sandro e Lucas eram 3 anos mais jovens. Assim, suas idades eram (S-3) e (L-3).

A sentença completa foi "Há três anos, o produto de suas  idades era 32 anos", representando matematicamente, temos:

$\boxed{(S-3)\cdot (L-3)~=~32}$

Temos duas incógnitas (S e L) e duas equações, vamos resolver este sistema por substituição.

Isolando "S" na 1ª equação:

$S~+~L~=~18~~\Rightarrow~\boxed{S~=~18-L}$

Substituindo na 2ª equação:

$(S-3)\cdot (L-3~=~18)\\\\\\(~(18-L)-3~)\cdot (L-3)~=~32\\\\\\(18-L-3)\cdot (L-3)~=~32\\\\\\(15-L)\cdot (L-3)~=~32\\\\\\15\cdot L~-~3\cdot 15~-~L\cdot L~-~L\cdot (-3)~=~32\\\\\\15L~-~45~-~L^2~+~3L~=~32\\\\\\\boxed{L^2~-~18L~+~77~=~0}$

Resolvendo a equação de 2º grau por Bhaskara (vou omitir os cálculos) chega-se a 2 possibilidades para a idade de Lucas:

$\boxed{L_1~=~7}~~e~~\boxed{L_2~=~11}$

A partir dessas raízes, podemos determinar a idade de Sandro correspondente:

$\underline{Para~~L=7}:\\\\S~=~18-L\\\\S~=~18-7\\\\\boxed{S~=~11}\\\\\\\underline{Para~~L=11}:\\\\S~=~18-L\\\\S~=~18-11\\\\\boxed{S~=~7}$

Mas, o texto deixa claro que Sandro é o mais velho, logo as idades corretas de Sandro e Lucas são, respectivamente, 11 e 7 anos.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$