Matemática, perguntado por thaicampos20, 9 meses atrás

A soma das idades de João, Marcos e Antônio totalizam 52 anos. Se somarmos o dobro idade de João com o triplo da idade de Marcos e subtrairmos a idade de Antônio teremos 41 anos. E sabendo que se do tríplo da idade de João subtraírmos o dobro da idade de Marcos e somarmos ao dobro da idade de Antônio teremos 71 anos, pergunta-se:
a) Qual a idade de João?
b) Qual a idade de Marcos?
c) Qual a idade de Antônio?
( Dica: Use a Regra de Cramer )


thaicampos20: me ajudem por favorrrr

Soluções para a tarefa

Respondido por Fabionps
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Vamos às afirmações do enunciado:

´´A soma das idades de João, Marcos e Antônio totalizam 52 anos.``

 J+M+A=52

´´Se somarmos o dobro da idade de João com o triplo da idade de Marcos e subtrairmos a idade de Antônio teremos 41.``

2J+3M-A=41

´´E sabendo que se do triplo da idade de João subtrairmos o dobro da idade de Marcos e somarmos ao dobro da idade de Antônio teremos 71 anos.``

3J-2M+2A=71

 

Forma-se o seguinte sistema:

   J+M+A=52

 2J+3M-A=41

 3J-2M+2A=71

Bom, como são três equações e três incógnitas (J, M e A), podemos usar a Regra de Cramer.

Para isso, vamos pegar os coeficientes desse sistema e formar uma matriz X 3x3:

 X=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&-1\\3&-2&2\end{array}\right]

Agora vamos calcular o seu determinante que será representado por D

D = (1.3.2 + 1.(-1).3 + 1.2.(-2)) - (1.2.2 + 1.(-1).(-2) + 1.3.3)\\D = (6 - 3 - 4) - (4 + 2 + 9)\\D = -1 -15\\

D=-16

Agora devemos substituir os termos independentes desse sistema na primeira coluna da matriz X, formando assim uma segunda matriz que chamaremos de Xj

Xj=\left[\begin{array}{ccc}52&1&1\\41&3&-1\\71&-2&2\end{array}\right]

Calculando o determinante de Xj temos:

Dj=[52.3.2+1.(-1).71+1.41.(-2)]-[1.41.2+52.(-1).(-2)+1.3.71)]\\Dj=(312-71-82)-(82+104+213)

Dj=-240

Vamos substituir novamente os termos independente na matriz X, porém agora na segunda coluna e vamos chamar essa nova matriz de Xm. Assim, temos:

Xm=\left[\begin{array}{ccc}1&52&1\\2&41&-1\\3&71&2\end{array}\right]

Calculando o determinante de Xm temos:

Dm=[1.41.2+52.(-1).3+1.2.71] - [52.2.2+1.(-1).71+1.41.3]\\Dm=(82-156+142)-(208-71+123)\\Dm=68-260

Dm=-192

Pela última vez, iremos substituir os termos independentes desse sistema na terceira coluna da matriz X e formaremos a matriz Xa. Logo, temos:

Xa=\left[\begin{array}{ccc}1&1&52\\2&3&41\\3&-2&71\end{array}\right]

Calculando o determinante de Xa temos:

Da=[1.3.71+1.41.3+52.2.(-2)]-[1.2.71+1.41.(-2)+52.3.3]\\Da=(213+123-208)-(142-82+468)\\Da=128-528

Da=-400

Bom, agora para descobrirmos o valor de cada incógnita desse sistema basta pegarmos suas respectivas determinantes e dividi-las pela determinante da matriz inicial X. Logo, temos:

Idade de João:

J=\frac{Dj}{D}

J=\frac{-240}{-16}

J=15

Idade de Marcos:

M=\frac{Dm}{D}

M=\frac{-192}{-16}

M=12

Idade de Antônio:

A=\frac{Da}{D}

A=\frac{-400}{-16}

A=25

Logo, João tem 15 anos, Marcos tem 12 anos e Antônio tem 25 anos.

Dúvidas? Comente!

Bons estudos!

=)


thaicampos20: obgdaaaaa
Fabionps: Por nada! :-)
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