Question

A soma 1/1!.9! + 1/3!.7! + 1/5!.5! + 1/7!.3! + 1/9!.1! pode ser colocada sob a forma 2ª/b! onde a e b são inteiros positivos. O valor de a+b é igual a:

Answer 1

Perceba que temos, no denominador, 1!(10-1)!, 3!(10-3)!, 5!(10-5)!

Isso deve abrir nossos olhos para pensar em combinações. Obviamente, estas são as combinações, (10 1), (10 3), (10 5), (10 7), (10 9).

Porém, no numerador das frações, temos 1, ou seja, o 10! está sendo dividido. Podemos, então, reescrever esta soma da forma:

$\frac{{10 \choose 1}}{10!} + \frac{{10\choose 3}}{10!} + \frac{{10\choose 5}}{10!} + \frac{{10\choose 7}}{10!} + \frac{{10\choose 9}}{10!}$

A sacada aqui é perceber que a parte de cima parece muito com a linha 10 do triângulo de Pascal, porém, são apenas as casas ímpares. Sabemos, pelo Teorema das linhas, que a soma dos elementos da linha n do triângulo de Pascal é dado por 2^n. Qual é a soma somente dos ímpares?

Numa linha do triângulo de Pascal, a soma dos elementos pares = a soma dos elementos ímpares. Ou seja, somente os ímpares será a metade, 2^n/2. Você pode perceber isso de algumas formas. Se escrevesse algumas linhas do triângulo você perceberia isto como regra geral, mas há também como provar isso de uma forma bem semelhante à que usamos para provar/demonstrar o Teorema das Linhas, mas o somatório vai ser

$\sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i+1}$

Ao invés de apenas i embaixo, temos i+1, ou seja, o somatório terá apenas os ímpares. O resto é desenvolver através do Binomio de Newton, e chegará neste resultado. Se quiser, posso fazer a demonstração. Mas enfim, temos que a soma dos elementos da linha N é 2^n, e dos elementos de casa ímpar da linha N é 2^n/2. Logo, como temos a linha 10:

$\frac{\frac{2^{10}}{2}}{10!}=\frac{2^{9}}{10!}$

Ou seja, a=9 e b=10

a+b = 19.