Question

a solução particular da equação y"+y'-2y=sen x,é:

Answer 1

$y''+y'-2y=sen(x)$

solução particular
$\Bmatrix y_p = A*sen(x) +B*cos(x)\\\\y_p' = A*cos(x)-B*sen(x)\\\\y_p''= -A*sen(x)-B*cos(x)\end$

fazendo a substituição
$y_p''+y_p'-2y_p=sen(x)\\\\ -Asen(x)-Bcos(x)+Acos(x)-Bsen(x)-2(Asen(x)+Bcos(x))= \\\\-3Asen(x)+Acos(x)-3Bcos(x)-Bsen(x)=sen(x)\\\\ sen(x)(-3A-B)+cos(x)(A-3B)=sen(x)\\\\\\\\ \Bmatrix -3A-B=1\\A-3B=0\end$

resolvendo:
multiplica a primeira equação por 3 e soma com segunda
$3*(-3A-B)+(A-3B)=3*1+0\\\\-10A-3B+A-3B=3\\\\-7A=3\\\\A= \frac{-3}{10}$

logo:
$A-3B=0\\\\ \frac{-3}{10}-3B=0\\\\ \frac{-1}{10}=B$

solução particular
$y_p = \frac{-3}{10} *sen(x) + \frac{-1}{10} *cos(x)\\\\\boxed{\boxed{y_p= \frac{-(3sen(x)+cos(x))}{10}}}$