Question

A solução geral da equação diofantina 12x − 27y = 33 é

Na minha apostila diz que o resultado é S = {(-22 − 9t, -11 – 4t) | t ∈ Z}., mas não consigo chegar nele de jeito nenhum. Dou 30 pontos para quem me ajudar de verdade.

Answer 1

Resposta:

$S=\{(-22-9t,-11-4t)|t\in\mathbb{Z}\}$

Explicação passo a passo:

Temos $12x-27y=33$.

Dividindo os dois lados da equação por $3$:

$4x -9y=11$, que agora está na forma $mx+ny=c$.

Procuramos uma solução inteira para $x$ e $y$, então deve ser pelo menos um múltiplo de $11$. Por inspeção, verifica-se esta solução, que vou chamar de $x_0$ e $y_0$:

$x_0=-22\\y_0=-11$

Finalmente, para achar a solução paramétrica (ou geral), usa-se as seguintes fórmulas:

$x=x_0+nt\\y=y_0-mt$

Substituindo $x_0$, $y_0$, $m$ e $n$, que são conhecidos:

$x=-22+(-9)t=22-9t\\y=-11-(4)t=-11-4t$

O que nos dá a resposta do conjunto $S=\{(-22-9t,-11-4t)|t\in\mathbb{Z}\}$.