Question

A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\mathsf{y=\dfrac{C}{x},~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Devemos encontrar a solução geral para a seguinte equação diferencial:

$\mathsf{xy'+y=0}$

Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por $\mathsf{x}$

$\mathsf{y'+\dfrac{y}{x}=0}$

Subtraia $\mathsf{\dfrac{y}{x}}$ em ambos os lados da equação

$\mathsf{y'=-\dfrac{y}{x}}$

Reescrevendo $\mathsf{y'=\dfrac{dy}{dx}}$, temos

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}}$

Esta é uma equação de variáveis separáveis. Reescrevemo-as como:

$\mathsf{\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}}$

Integramos ambos os lados

$\mathsf{\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int-\dfrac{dx}{x}}}$

Lembre-se:

• A integral imediata $\mathsf{\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C}}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\mathsf{\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}}$.

Aplique a regra da constante e calcule as integrais

$\mathsf{\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=-\int\dfrac{dx}{x}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle{\ln|y|+C_1=-(\ln|x|+C_2)}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\mathsf{\ln|y|+C_1=-\ln|x|-C_2}$

Subtraia $\mathsf{C_1}$ em ambos os lados da equação e considere $\mathsf{-C_2-C_1=C_3}$

$\mathsf{\ln|y|=-\ln|x|+C_3}$

Fazemos $\mathsf{C_3=\ln(e^{C_3})=\ln(C)}$ e aplicamos a regra da diferença de logaritmos: $\mathsf{\ln(a)-\ln(b)=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)}$, satisfeitas as condições de existência.

$\mathsf{\ln|y|=\ln\left(\dfrac{C}{x}\right)}$

Buscamos uma solução da forma $\mathsf{y=y(x)}$, logo fazemos:

$\mathsf{y=\dfrac{C}{x}}$

Esta é a solução geral desta equação diferencial.