Matemática, perguntado por flaviodusilva, 8 meses atrás

A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\mathsf{y=\dfrac{C}{x},~C\in\mathbb{R}}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Devemos encontrar a solução geral para a seguinte equação diferencial:

\mathsf{xy'+y=0}

Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por \mathsf{x}

\mathsf{y'+\dfrac{y}{x}=0}

Subtraia \mathsf{\dfrac{y}{x}} em ambos os lados da equação

\mathsf{y'=-\dfrac{y}{x}}

Reescrevendo \mathsf{y'=\dfrac{dy}{dx}}, temos

\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}}

Esta é uma equação de variáveis separáveis. Reescrevemo-as como:

\mathsf{\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}}

Integramos ambos os lados

\mathsf{\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int-\dfrac{dx}{x}}}

Lembre-se:

  • A integral imediata \mathsf{\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C}}.
  • A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: \mathsf{\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}}.

Aplique a regra da constante e calcule as integrais

\mathsf{\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=-\int\dfrac{dx}{x}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle{\ln|y|+C_1=-(\ln|x|+C_2)}}

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

\mathsf{\ln|y|+C_1=-\ln|x|-C_2}

Subtraia \mathsf{C_1} em ambos os lados da equação e considere \mathsf{-C_2-C_1=C_3}

\mathsf{\ln|y|=-\ln|x|+C_3}

Fazemos \mathsf{C_3=\ln(e^{C_3})=\ln(C)} e aplicamos a regra da diferença de logaritmos: \mathsf{\ln(a)-\ln(b)=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)}, satisfeitas as condições de existência.

\mathsf{\ln|y|=\ln\left(\dfrac{C}{x}\right)}

Buscamos uma solução da forma \mathsf{y=y(x)}, logo fazemos:

\mathsf{y=\dfrac{C}{x}}

Esta é a solução geral desta equação diferencial.


MSGamgee85: Aeeee! Até mudou a fonte haha
SubGui: desde aquela outra acho que fica mais bonita pra isso
MSGamgee85: *polegar pra cima
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