Question

A solução do sistema linear:



a) S = {(3, 1, 4)}


b) S = {(2, 1 ,5)}


c) S = {(2, - 1, 5)}


d) S = {( - 2, 1, 5)}


e) S = {( 2, 1, - 5)}


Resposta somente com explicações detalhadas! obrigada. ​

Answer 1

Resposta:

Alternativa correta é a 'B'!.

Explicação passo-a-passo:

Calcule o determinante. Basta utilizar os coeficientes do sistema nos termos da matriz.

$E= \left[\begin{array}{ccc}1&2&-2\\2&-3&1\\3&7&-2\end{array}\right]$ , repita a primeira e segunda coluna, e multiplique cruzado.

Det E = -33.

Agora você vai calcular o  determinante 'para cada incógnita', substitua os termos independentes(depois da igualdade) no lugar dos coeficientes da coluna de x,y e z.

$x= \left[\begin{array}{ccc}-6&2&-2\\6&-3&1\\3&7&-2\end{array}\right]$

Det x = -66, e agora para acharmos o valor de 'x', basta dividir o determinante da matriz 'x' pelo determinante da matriz dos coeficientes(E).

Sendo assim, x = Det x/Det E

x = -66/-33

x = 2.

Achamos o valor de uma das incógnitas, agora repita o processo para achar 'y' ou 'z'.

$y= \left[\begin{array}{ccc}1&-6&-2\\2&6&1\\3&3&-2\end{array}\right]$

Det y = -33

y = Det y/Det E

y = -33/-33

y = 1.

Note que achamos o valor de 'x' e 'y' e só falta 'z', sendo assim, podemos substituir os valores encontrados e isolar 'z', que é a incógnita faltante.

Vamos utilizar a primeira equação:

x + 2y - 2z = -6

(2) + 2.(1) - 2z = -6

2 + 2 + 6 = 2z

10 = 2z

z = 10/2

z = 5.

Sendo assim, temos os valores de 'x','y' e 'z', e basta montar a solução.

Lembre-se que é preferivel que o conjunto solução esteja em ordem alfabetica, neste caso ''x, y, z''.

S = {(x, y, z)}

S = {(2, 1, 5)}.

Att, Felipemlvr.

Answer 2

Sistemas lineares:

É um conjunto de equações da forma

$\mathsf{a_1x_1+a_2x_2+... a_nx_n=a}$

Solução de um sistema linear

A solução de um sistema linear é a n-upla

$\mathsf{a_1,a_2,...a_n}$

que satisfaz todas as equações que compõem o sistema simultaneamente.

Exemplo:

$\begin{cases}\mathsf{x+y+z=6}\\\mathsf{4x+5y-z=11}\\\mathsf{2x-3y-5z=-19}\end{cases}$

Neste caso o sistema existe um e somente um terno da forma (x, y, z) que satisfaz as 3 equações simultaneamente e este terno é (1,2,3) portanto $\mathsf{s=\{1,2,3\}}$.

Para resolver um sistema linear existem vários métodos porém aqui irei resolver o sistema proposto na questão pelo

método do escalonamento

$\dotfill$

$\begin{cases}\mathsf{x+2y-2z=-6}\\\mathsf{2x-3y+z=6}\\\mathsf{3x+7y-2z=3}\end{cases}$

Vamos multiplicar a 1ª equação por -2 e adicionar a 2ª equação :

$\begin{cases}\mathsf{-2x-4y+4z=12}\\\mathsf{2x-3y+z=6}\\\mathsf{3x+7y-2z=3}\end{cases}$ somando a primeira equação com a segunda equação temos:

$\begin{cases}\mathsf{x+2y-2z=-6}\\\mathsf{-7y+5z=18}\\\mathsf{3x+7y-2z=3}\end{cases}$

vamos multiplicar a 1ª linha por -3:

$\begin{cases}\mathsf{-3x-6y+6z=18}\\\mathsf{-7y+5z=18}\\\mathsf{3x+7y-2z=3}\end{cases}$

Somando a 1ª equação com a 3ª equação temos:

$\begin{cases}\mathsf{x+2y-2z=-6}\\\mathsf{-7y+5z=18}\\\mathsf{y+4z=21}\end{cases}$

multipliquemos a 3ª equação por 7:

$\begin{cases}\mathsf{x+2y-2z=-6}\\\mathsf{-7y+5z=18}\\\mathsf{7y+28z=147}\end{cases}$

adicionando as equações 2 e 3 temos:

$\begin{cases}\mathsf{x+2y-2z=-6}\\\mathsf{-7y+5z=18}\\\mathsf{33z=165}\end{cases}$

Perceba que a equação está escalonada pois de baixo para cima temos uma equação com uma variável,na segunda temos uma equação com duas variáveis e na terceira temos uma equação com 3 variáveis.Resolvendo de baixo para cima temos:

$\mathsf{33z=165}\\\mathsf{z=\dfrac{165}{33}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{z=5}}}}}$

Substituindo z na segunda equação temos:

$\mathsf{-7y+5z=18}\\\mathsf{-7y+5\cdot5=18}\\\mathsf{-7y+25=18}\\\mathsf{-7y=18-25}\\\mathsf{-7y=-7}\\\mathsf{y=\dfrac{-7}{-7}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{y=1}}}}}$

Vamos substituir y e z na primeira equação :

$\mathsf{x+2y-2z=-6}\\\mathsf{x+2\cdot1-2\cdot5=-6}\\\mathsf{x+2-10=-6}\\\mathsf{x=10-2-6}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x=2}}}}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S=\{2,1,5\}}}}}}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\maltese~~alternativa~~b}}}}}$

$\dotfill$

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