Matemática, perguntado por mikasillva10, 9 meses atrás

a solução do sistema linear a baixo é:


A) (1;3;8)
B)(3;5,13)
C)(4;12;3)
D)(7;5;10;5;3)
E)(50;42;19)​

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
2

Temos o seguinte sistema:

 \sf  \begin{cases} \sf  \frac{1}{2} x + 3y + 4z = 50 \\ \sf  \frac{3}{2} x + y + 8z = 42 \\  \sf x + y + z = 19 \end{cases}

Vamos resolver esse sistema através do método do escalonamento, para isso seguiremos alguns passos.

  • 1) Fixe uma das equações, sendo que essa deve a mais simples no termo "x", partindo dessa princípio fixaremos a terceira equação (x+y+z = 19).

 \sf  \begin{cases}  \red{\sf  x + y + z = 19 }\\ \sf  \frac{3}{2} x + y + 8z = 42 \\  \sf \frac{1}{2} x + 3y + 4z = 50  \end{cases}

Tendo fixado essa equação, faremos algumas manipulações para que possamos cancelar a incógnita "x" do restante das equações que não foram fixadas. Para isso multiplique a primeira equação por (-3/2) e realize a comparação entre a mesma e a segunda equação:

\begin{cases} \sf x + y + z = 19 .(  - \frac{3}{2}) \\  \sf  \frac{3}{2}x + y + 8z = 42  \end{cases} \\  \\     \sf\left( - \sf\frac{3}{2} \right) x +  \left(  -  \frac{3}{2} \right)y + \left( -  \frac{3}{2}  \right)z = \left(  -  \frac{3}{2} \right)19 \\  \sf  \frac{3}{2} x + y + 8z = 42 \\  \\  \sf   \cancel\frac{ - 3x}{2}  -  \frac{3y}{2}   -  \frac{3z}{2}  =   - \frac{57}{2}  \\  \sf   \cancel\frac{3x}{2}  + y + 8z = 42 \\  \\  \sf   - \frac{3y}{2}  + y + 8z -  \frac{3z}{2}  =  -  \frac{57}{2}  + 42 \\  \\  \sf    \frac{ - 3y + 2y}{2}  +  \frac{16z - 3z}{2}  =  \frac{ - 57 + 84}{2} \\  \\  \sf   - \frac{y}{2}   +  \frac{13z}{2}  =  \frac{27}{2}  \\  \\   \sf  \frac{13z - y}{ \cancel2} =  \frac{27}{ \cancel2}   \\  \\ \boxed{\sf 13z - y = 27 }

Reserve essa expressão resultante.

  • Do mesmo jeito que fizemos com a segunda equação, teremos que fazer com a terceira, então multiplicaremos a mesma por (-1/2):

 \sf  \begin{cases} \sf x + y + z = 19.( -  \frac{1}{2})  \\  \sf  \frac{1}{2}x + 3y + 4z = 50 \end{cases} \\  \\  \sf   \cancel{-  \frac{1}{2}}x  -  \frac{1}{2} y -  \frac{1}{2} z =   - \frac{19}{2}  \\  \sf   \cancel{\frac{1}{2} }x + 3y + 4z = 50 \\  \\  \sf  -  \frac{y}{2}  -  \frac{z}{2}  =  -  \frac{19}{2}  \\  \sf 3y + 4z = 50 \\  \\  \sf 3y -  \frac{y}{2}  + 4z -  \frac{z}{2}  = 50 -  \frac{19}{2}  \\  \\  \sf  \frac{6y - y}{2}  +  \frac{8z - z}{2}  =  \frac{100 - 19}{2}  \\ \\   \sf  \frac{5y}{ \cancel2}  +  \frac{7z}{ \cancel2}  =  \frac{81}{ \cancel2}  \\  \\  \sf 5y + 7z = 81

Reserve essa expressão também.

Substituindo esses novos dados no sistema, temos que:

 \sf  \begin{cases} \red{\sf x + y + z = 19} \\  \sf  \:  \:  \:   \purple{- y  + 13z = 27} \\   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \sf 5y + 7z = 81\end{cases}

  • 2) Agora teremos que fixar mais uma equação, só que dessa vez será a equação que possuir o termo "y" mais simples, ou seja, a segunda equação (-y+13z=27), tendo feito isso teremos que compará-la a terceira equação e com isso cancelar a incógnita "y", ou seja, multiplicaremos a segunda equação por (-5):

 \sf \begin{cases} \sf  - y + 13z = 27 .(5)\\  \sf 5y + 7z = 81 \end{cases} \\  \\  \sf   \cancel- 5y + 65z = 135 \\  \sf \cancel 5y + 7z = 81 \\  \\  \sf 65z + 7z = 135 + 81 \\   \\  \sf 72z = 216 \\  \\

Substituindo essa informação no sistema:

 \sf \begin{cases} \sf x + y + z = 19 \\  \sf  - y + 13z = 2 7 \\  \sf \:  \:  \:   \:  \:  \:  \:  \:  \: 72z  =  216 \end{cases}

Agora é só resolver essas equações do primeiro grau.

 \sf 72z = 216 \\  \sf z =  \frac{216}{72}  \\  \boxed{\sf z = 3} \\  \\  \sf  - y + 13z = 27 \\  \sf  - y + 13.3 = 27 \\  \sf  - y + 39 = 27 \\  \sf  - y = 27 - 39  \\  \sf   - y =  - 12.( - 1) \\ \boxed{ \sf y = 12 }\\  \\  \sf x + y + z = 19 \\  \sf x + 12 + 3 = 19 \\  \sf x + 15 = 19 \\  \sf x = 19 - 15 \\   \boxed{\sf x = 4}

Espero ter ajudado

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