Question

a solução do sistema linear a baixo é:


A) (1;3;8)
B)(3;5,13)
C)(4;12;3)
D)(7;5;10;5;3)
E)(50;42;19)​

Answer 1

Temos o seguinte sistema:

$\sf \begin{cases} \sf \frac{1}{2} x + 3y + 4z = 50 \\ \sf \frac{3}{2} x + y + 8z = 42 \\ \sf x + y + z = 19 \end{cases}$

Vamos resolver esse sistema através do método do escalonamento, para isso seguiremos alguns passos.

• 1) Fixe uma das equações, sendo que essa deve a mais simples no termo "x", partindo dessa princípio fixaremos a terceira equação (x+y+z = 19).

$\sf \begin{cases} \red{\sf x + y + z = 19 }\\ \sf \frac{3}{2} x + y + 8z = 42 \\ \sf \frac{1}{2} x + 3y + 4z = 50 \end{cases}$

Tendo fixado essa equação, faremos algumas manipulações para que possamos cancelar a incógnita "x" do restante das equações que não foram fixadas. Para isso multiplique a primeira equação por (-3/2) e realize a comparação entre a mesma e a segunda equação:

$\begin{cases} \sf x + y + z = 19 .( - \frac{3}{2}) \\ \sf \frac{3}{2}x + y + 8z = 42 \end{cases} \\ \\ \sf\left( - \sf\frac{3}{2} \right) x + \left( - \frac{3}{2} \right)y + \left( - \frac{3}{2} \right)z = \left( - \frac{3}{2} \right)19 \\ \sf \frac{3}{2} x + y + 8z = 42 \\ \\ \sf \cancel\frac{ - 3x}{2} - \frac{3y}{2} - \frac{3z}{2} = - \frac{57}{2} \\ \sf \cancel\frac{3x}{2} + y + 8z = 42 \\ \\ \sf - \frac{3y}{2} + y + 8z - \frac{3z}{2} = - \frac{57}{2} + 42 \\ \\ \sf \frac{ - 3y + 2y}{2} + \frac{16z - 3z}{2} = \frac{ - 57 + 84}{2} \\ \\ \sf - \frac{y}{2} + \frac{13z}{2} = \frac{27}{2} \\ \\ \sf \frac{13z - y}{ \cancel2} = \frac{27}{ \cancel2} \\ \\ \boxed{\sf 13z - y = 27 }$

Reserve essa expressão resultante.

• Do mesmo jeito que fizemos com a segunda equação, teremos que fazer com a terceira, então multiplicaremos a mesma por (-1/2):

$\sf \begin{cases} \sf x + y + z = 19.( - \frac{1}{2}) \\ \sf \frac{1}{2}x + 3y + 4z = 50 \end{cases} \\ \\ \sf \cancel{- \frac{1}{2}}x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z = - \frac{19}{2} \\ \sf \cancel{\frac{1}{2} }x + 3y + 4z = 50 \\ \\ \sf - \frac{y}{2} - \frac{z}{2} = - \frac{19}{2} \\ \sf 3y + 4z = 50 \\ \\ \sf 3y - \frac{y}{2} + 4z - \frac{z}{2} = 50 - \frac{19}{2} \\ \\ \sf \frac{6y - y}{2} + \frac{8z - z}{2} = \frac{100 - 19}{2} \\ \\ \sf \frac{5y}{ \cancel2} + \frac{7z}{ \cancel2} = \frac{81}{ \cancel2} \\ \\ \sf 5y + 7z = 81$

Reserve essa expressão também.

Substituindo esses novos dados no sistema, temos que:

$\sf \begin{cases} \red{\sf x + y + z = 19} \\ \sf \: \: \: \purple{- y + 13z = 27} \\ \: \: \: \: \: \: \sf 5y + 7z = 81\end{cases}$

• 2) Agora teremos que fixar mais uma equação, só que dessa vez será a equação que possuir o termo "y" mais simples, ou seja, a segunda equação (-y+13z=27), tendo feito isso teremos que compará-la a terceira equação e com isso cancelar a incógnita "y", ou seja, multiplicaremos a segunda equação por (-5):

$\sf \begin{cases} \sf - y + 13z = 27 .(5)\\ \sf 5y + 7z = 81 \end{cases} \\ \\ \sf \cancel- 5y + 65z = 135 \\ \sf \cancel 5y + 7z = 81 \\ \\ \sf 65z + 7z = 135 + 81 \\ \\ \sf 72z = 216$

Substituindo essa informação no sistema:

$\sf \begin{cases} \sf x + y + z = 19 \\ \sf - y + 13z = 2 7 \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: 72z = 216 \end{cases}$

Agora é só resolver essas equações do primeiro grau.

$\sf 72z = 216 \\ \sf z = \frac{216}{72} \\ \boxed{\sf z = 3} \\ \\ \sf - y + 13z = 27 \\ \sf - y + 13.3 = 27 \\ \sf - y + 39 = 27 \\ \sf - y = 27 - 39 \\ \sf - y = - 12.( - 1) \\ \boxed{ \sf y = 12 }\\ \\ \sf x + y + z = 19 \\ \sf x + 12 + 3 = 19 \\ \sf x + 15 = 19 \\ \sf x = 19 - 15 \\ \boxed{\sf x = 4}$

Espero ter ajudado