Question

A solução do problema de valor inicial: y"+2y'=0, como y(0)=3 e y'(0)=6, é uma função "y(x)". o valor aproximado de y(5), é:
5,5


6,0


5,0


6,8


4,5

Answer 1

Como se trata de uma equação diferencial de segunda ordem homogênea,podemos fazer y'' = x² e y' = x.Logo,ficamos com:

x²+2x = 0 => x(x+2) = 0  <=> x = 0 ou x = -2

Uma vez que tal equação quadrática possui duas raízes reais diferentes,veja que:


$y = C1 * e^{0x} + C2*e^{-2x}$
 
$y= C1 + C2*e^{-2x}$

Onde C1 e C2 são constantes quaisquer.Como o problema é de valor inicial,vamos descobrir seus valores.Se y(0) = 3 e y'(0) = 6,então:

I.$C1+C2 = 3$

II.$C2*e^{-2*0}*(-2) = 6$ => $-2C2 = 6$ <=> $C2 = -3$

Assim,C1=3+3=6 e:


$y=6-3*e^{-2x}$ => $y(5) = 6-3*e^{-10} = 6$