Question

A solução do problema de valor inicial: $y^{ll} +2 y^{l} =0,$ com y(0)=3 e $y^{l} (0)=6$, é uma função $^{ll} y(x) ^{ll}$. o valor aproximado de y(5), é;

a. 6,8
b. 6,0
c. 4,5
d. 5,0
e. 5,5

Answer 1

Boa tarde Sterjr

y" + 2y' = 0 

y(x) = c1*e^-2x + c2

y(0) = c1 + c2 = 3

y'((x)  = -2c1*e^-2x
y'(0) = -2c1 = 6
c1 = -3

c1 + c2 = 3
-3 + c2 = 3
c2 = 6

y(x) = -3*e^(-2x) + 6
y(5) = -3*e^(-10) + 6
y(5) = 6 (B) 

Answer 2

É dada a EDO de segunda ordem:

$y''+2y'=0$

Como é uma EDO homogênea, vamos tomar $y=e^{rx}$, onde r é um complexo. Substituindo na equação:

$y''+2y'=0\\\\ (e^{rx})''+2(e^{rx})'=0\\\\ r^2e^{rx}+2re^{rx}=0\\\\ e^{rx}(r^2+2r)=0$

Como $e^{rx}\neq0$, temos que:

$r^2+2r=0\Longrightarrow r(r+2)=0\Longrightarrow r=0~~\text{ou}~~r=-2$

Dessa forma, obtivemos:

$y_1=e^{0x}=1~~\text{e}~~y_2=e^{-2x}$

A solução da EDO é a combinação linear dessas duas soluções, já que elas são linearmente independentes e a equação é de segunda ordem.

Assim, a solução geral é da forma:

$y=C_1+C_2e^{-2x}$

Usando as condições dadas:

$\bullet~y'(0)=6:\\ y=C_1+C_2e^{2x}\Longrightarrow y'=-2C_2e^{2x}\Longrightarrow y'(0)=-2C_2e^{2\cdot0}=-2C_2\\\\ 6=-2C_2\Longrightarrow C_2=-3\\\\ \bullet~y(0)=3:\\ y(0)=C_1+C_2e^{2\cdot0}=C_1+C_2\Longrightarrow C_1+C_2=3\\\\ C_1-3=3\Longrightarrow C_1=6$

Logo, a solução do PVI é: $\boxed{y(x)=6-3e^{-2x}}$

Calculando y(5):

$y(x)=6-3e^{-2x}\Longrightarrow y(5)=6-3e^{-2\cdot5}=6-3e^{-10}\\\\ \boxed{y(5)\approx6}\Longrightarrow \text{Letra }\bold{B.}$