Question

a soluçao do problema de valor inicial dy/dx=3x-2y-6+xy, com y(2)=-2 é uma funçao entao pode afirmar que y(1) vale

Answer 1

Resolver o problema de valor inicial

     $\dfrac{dy}{dx}=3x-2y-6+xy\,,\qquad\quad y(2)=-2$


Vamos rearrumar a equação:

     $\dfrac{dy}{dx}=3x-6+xy-2y\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=3(x-2)+y(x-2)\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=(x-2)(3+y)$


Esta é uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem cujas variáveis são separáveis:

     $\dfrac{dy}{3+y}=(x-2)\,dx$


Integrando ambos os lados:

     $\displaystyle\int\dfrac{dy}{3+y}=\int(x-2)\,dx\\\\\\ \ln|3+y|=\frac{x^2}{2}-2x+C_1$


Tomando exponenciais dos dois lados,

     $|3+y|=\exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}-2x+C_1\right)\\\\\\ |3+y|=\exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\cdot \exp(C_1)\\\\\\ 3+y=\pm \exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\cdot \exp(C_1)\\\\\\ 3+y=\pm \exp(C_1)\cdot \exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\\\\\\ y=\pm \exp(C_1)\cdot \exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)-3$

     $y=C\cdot \exp\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)-3$

onde  C₁,  C  são constantes,   C = ± exp(C₁),   C ≠ 0.


Para encontrar o valor da constante  C,  aplicamos a condição inicial:

     y = − 2  quando  x = 2:

     $-2=C\cdot \exp\!\left(\dfrac{2^2}{2}-2\cdot 2\right)-3\\\\\\ -2+3=C\cdot \exp\!\left(\dfrac{4}{2}-4\right)\\\\\\ 1=C\cdot \exp\left(2-4\right)\\\\ 1=C\cdot e^{-2}\\\\ C=e^2$     


Então a lei da solução para o problema de valor inicial é

     $y=e^2\cdot \exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)-3\\\\\\ y=\exp(2)\cdot \exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)-3$


Em um produto de exponenciais de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes:

     $y=\exp\!\left(\dfrac{x^2}{2}-2x+2\right)-3$    <————    solução do PVI.

—————

Para  x = 1,  encontramos

     $y(1)=\exp\!\left(\dfrac{1^2}{2}-2\cdot 1+2\right)-3\\\\\\ y(1)=\exp\!\left(\dfrac{1}{2}-2+2\right)-3\\\\\\ y(1)=\exp\!\left(\dfrac{1}{2}\right)-3\\\\\\ y(1)=e^{1/2}-3$

     $y(1)=\sqrt{e}-3$    <————    resposta exata

     $y(1)\approx 1\!,65-3$

     $y(1)\approx -1,\!35$    <————    resposta aproximada.


     Bons estudos! :-)