Question

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolvendl a E. D. linear de primeira ordem: y'+y cosx=cosx, obtém-se uma função y(x). Se o ponto y(pi)=-2 pertence a esta função, então pode-se afirmar que y(0), vale:
a) 3
b) - 2
c) 0
d) - 1
e) 1

Answer 1

Resposta:

B

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá, usando o método de resolução por separação de variáveis temos:

$y'+y\cos(x)=\cos(x)\\y'=(1-y)\cos(x); \ \ y'=\frac{dy}{dx}\\\frac{dy}{dx}=(1-y)\cos(x)\\\frac{1}{1-y}dy=\cos(x)dx ; \ integrando\\\int{\frac{1}{1-y}dy}=\int{\cos(x)dx}\\-\ln(1-y)=sen(x)+C_1; \ C_1 = constante\\\ln(1-y)=-sen(x)-C_1\\1-y=e^{-sen(x)-C_1}\\1-y=e^{-sen(x)}e^{-C_1}; \ e^{-C_1}=C_2 (constante)\\1-y=C_2e^{-sen(x)}\\y=1-C_2e^{-sen(x)} ; -C_2=C_3 (constante)\\y=1+C_3e^{-sen(x)}$

Logo essa será a solução geral do problema, mas temos que y(pi)=-2, logo:

$-2=1+C_3e^{-sen(\pi)}\\-3=C_3e^{0}\\-3=C_3$, assim achamos o valor de C3 com essa condição inicial.

Agora, vamos achar y(0)

$y(0)=1-3e^{-sen(0)}\\y(0)=1-3e^ {0}\\y(0)=1-3\\y(0)=-2$