Question

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x). Resolvendo a equação
x^2 dy/ dx + 3xy = 0, obtém-se uma função y(x) que passa pelo ponto y (e) = 1. Pode-se afirmar que o valor mais próximo de y (2), é

Answer 1

Resposta:

x² . dy/dx + 3xy = 0 ⇒ Separe as variáveis.

x² . dy/dx = - 3xy

dy/dx = - 3xy/x²

dy/dx = - 3y/x

dy/dx . 1/y = - 3/x

(1/y)dy = (- 3/x)dx ⇒ Integre ambos os membros.

∫ (1/y)dy = ∫ (- 3/x)dx

∫ (1/y)dy = - 3 . ∫ (1/x)dx

ln(y) + c₁ = - 3 . ln(x) + c₂

ln(y)  = - 3ln(x) + c₂ - c₁ ⇒ A diferença de constantes resulta em outra constante.

ln(y)  = - 3ln(x) + c ⇒ Utilize a propriedade ln(x) = a ⇔ x = eᵃ.

y = e$\sf^{-3ln(x)\,+\,C}$

y = e$\sf^{-3ln(x)}$ . eᶜ ⇒ Utilize a propriedade n . ln(x) =  ln(xⁿ).

y = e$\sf^{ln(x^{-3})}$ . eᶜ ⇒ Utilize a propriedade e$\sf^{ln(x)}$ = x

y = x⁻³ . eᶜ

y = x⁻³ . eᶜ

y = eᶜ/x³  (solução geral)

Agora falta encontrar a constante arbitrária ''c'' sabendo da condição y(e) = 1:

y(e) = eᶜ/e³ = 1

eᶜ⁻³ = 1

eᶜ⁻³ = e⁰

c - 3 = 0

c = 3

Assim a solução particular que satisfaz essa condição é:

y(x) = e³/x³ ⇒ y(x) = (e/x)³.

Por fim calculemos o valor aproximado de y(2), lembrando que e ≈ 2,71:

y(2) = (e/2)³

y(2) = (2,71/2)³

y(2) = 1,355³

y(2) ≈ 2,48 ≈ 2,5

Letra A