Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 1 ano atrás

A solução de um sistema linear de três equações e três incógnitas pode ser interpretada geometricamente como a interseção de três planos no espaço e consiste em verificar se os três planos têm um único ponto, infinitos pontos ou nenhum ponto em comum, para determinar se o sistema possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, respectivamente.

Com base nessas informações, conclui-se que o sistema linear na imagem acima, tem como solução:

Resposta: a reta que passa pelo ponto ( 0, -1, 3) e que possui como vetor diretor $v$ = (1, -1, 1).

# preciso entender como se chega nesse resultado #

# Cálculo e resolução pvf #

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por DuarteME

Começamos por escrever a matriz aumentada associada ao sistema:
$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$

Se subtrairmos a 1.ª linha à 3.ª, obtemos:
$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1& -2 \\ \end{bmatrix}$

Somando agora a 2.ª linha à 3.ª, obtemos:
$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Como a caraterística desta matriz é 2 e da 3.ª linha de obtém a condição universal 0 = 0, o sistema é possível e indeterminado.

Obtemos então o sistema:
$\begin{cases}x + 2y + z = 1 \\ y + z = 2\end{cases}$

Da última equação, obtemos $z = 2-y$ , pelo que, substituindo na 1.ª vem:
$x + 2y + 2 - y = 1 \iff x = -y-1$

Portanto, temos o sistema:
$\begin{cases}x = -y-1\\ z = 2-y \end{cases}$

Assim, o conjunto solução é:
$\{(-y-1, y, 2-y): y \in \mathbb{R}\}$

Escrevendo:
$(-y-1, y, 2-y) = (-1, 0, 2) + y(-1, 1, -1)$

Concluímos que o conjunto solução corresponde à reta que passa no ponto (–1, 0, 2) e tem vetor diretor (–1, 1, –1).

Note que a resposta não é, à primeira vista, exatamente igual àquela que indica. No entanto, os vetores (1, –1, 1) e (–1, 1, –1) são simétricos, pelo que têm a mesma direção, ainda que tenham sentidos contrários. Assim, ambos são vetores diretores válidos.

Por outro lado, o ponto (0, –1, 3) também pertence à reta obtida, pois tomando y = –1, obtém-se x = –(–1) – 1 = 0 e z = 2 – (–1) = 3, ou seja, a reta passa no ponto (0, –1, 3).

Concluímos assim que ambas as representações são válidas e correspondem à mesma reta.

Respondido por williamcanellas

Com base na representação geométrica do sistema linear a solução é a reta que passa pelo ponto (0,-1,3) e possui vetor diretor igual (1,-1,1).

Sistemas Lineares

Para encontramos a solução do sistema linear basta aplicarmos o escalonamento que é um método onde efetuamos combinações lineares entre as linhas (equações) do sistema a fim de eliminar variáveis.

No sistema proposto podemos efetuar a seguinte combinação linear:

$\begin{cases}x+2y+z=1\\ \ \ \ \ \ \ \ y+z=2\\x+y \ \ \ \ \ \ \ =-1 \ \ \ \ L_3:L_3 - L_1\end{cases}\\\\\begin{cases}x+2y+z=1\\ \ \ \ \ \ \ \ y+z=2\\ \ \ \ \ \ -y-z =-2\end{cases}\\$

Observamos que a 2ª e 3ª linhas são proporcionais, logo, podemos suprimir uma delas e sendo assim o sistema será possível e indeterminado - SPI, ou seja, terá uma reta como solução.

$\begin{cases}x+2y+z=1\\ \ \ \ \ \ \ \ y+z=2\end{cases}\\$

Fazendo $z=t$ , onde $t$ é um parâmetro real teremos a seguinte solução:

$y+z=2\\\\y+t=2\\\\y=2-t$

Substituindo $y$ e $z$ na 1ª equação:

$x+2y+z=1\\\\x+2(2-t)+t=1\\\\x+4-2t+t=1\\\\x=-3+t$

Por fim teremos a equação paramétrica da reta definida por:

$\begin{cases}x=-3+t\\y=2-t\\z=t\end{cases}$

Onde teremos o vetor diretor $\vec{v}=(1,-1,1)$ formado pelos coeficientes de $t$ e para verificar se o ponto $(0,-1,3)$ pertence a reta basta fazermos $t=3$ .