a solução da inequação:
X/X+1 - X/X-1 ≥ 0 é :
Soluções para a tarefa
A questão trata de uma inequação quociente. Vamos reescrevê-la.
Retire o MMC de x+1 e x-1
(x-1).x - x.(x+1) / x^2 -1 >= 0
x^2 - x - x^2 - x / x^2-1 >=0
-2x/x^2-1 >=0
Temos duas funções f(x) em cima e g(x) em baixo. Para resolver a inequação, iguale cada uma a 0 e veja os intervalos em que elas são maiores que 0
Obs: a função g(x) deve obedecer à condição de existência
C.E
( != significa diferente de)
x^2 - 1 != 0
x^2 != 1
x != +/-1
x não pode ser +1 nem -1
Igualando a 0 cada uma das funções f e g(x).
f(x)
-2x = 0
x = 0
Esboço do gráfico:
+ \
--- \---
0 \ (-)
g(x)
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x^2 = +/- 1 (intervalo aberto, essas não podem ser soluções)
Esboço do gráfico:
+ +
----U----
-1 (-) +1
Devemos fazer o estudo dos sinais
+++ - - -
-------(0)------
+ - +
--(-1)--(+1) --
+ - + -
--(-1)-(0)-(+1)--
Como queremos que a solução seja > 0, pegaremos os intervalos positivos (+)
S = {xER/ x < -1 , 0 =< x < +1}
Resposta:
V = {x ∈ R / x < -1 ∨ 0 ≤ x < 1}
Explicação passo-a-passo:
m.m.c ⇒ (x + 1)(x - 1)
[x(x -1) - x(x + 1)]/(x +1 )(x -1) ≥ 0
[x² - x - x² - x]/(x +1)(x - 1) ≥ 0
-2x/(x + 1)(x - 1) ≥ 0
validade de ''x" ⇒ x ≠ 1 x ≠ -1
_________-1______0______1_____
-2 - - - - - - - - - -|- - - - - - -| - - - - - - |- - - - - -
x + 1 - - - - - - - - - -| +++++++|+++++++|++++++
x - 1 - - - - - - - - - - |- - - - - - -|- - - - - - -|++++++
x - - - - - - - - - - |- - - - - - -|+++++++|++++++
-2x/(x+1)(x -1) +++++++++++|- - - - - - -|+++++++|- - - - - - -
V = {x ∈ R / x < -1 ∨ 0 ≤ x < 1}