Question

A solução da inequação x/x+1 - x/x-1 ≥ 0

Answer 1

Resolver a inequação

$\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{x}{x-1}\ge 0$

com x ≠ 1 e x ≠ −1, pois os denominadores não podem se anular.

Reduza os termos do lado esquerdo ao mesmo denominador:

$\dfrac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}\ge 0\\\\\\ \dfrac{x(x-1)-x(x+1)}{(x+1)(x-1)}\ge 0\\\\\\ \dfrac{x^2-x-x^2-x}{(x+1)(x-1)}\ge 0\\\\\\ \dfrac{-2x}{(x+1)(x-1)}\ge 0\\\\\\ (-2)\cdot \dfrac{x}{(x+1)(x-1)}\ge 0\\\\\\ \dfrac{x}{(x+1)(x-1)}\le 0\qquad\quad\mathrm{(i)}$

Acima temos uma inequação quociente. Devemos fazer o quadro de sinais:

$\begin{array}{ccl} x&\quad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{------}{\textsf{------------}}\!\!\underset{0}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{++++++}{\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\\\\\\ x-1&\quad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{-------------}{\textsf{------------}\!\!\underset{0}{\bullet}\!\!\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\\\\\\ x+1&\quad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{+++++++++++++}{\textsf{------------}\!\!\underset{0}{\bullet}\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\\\\\\\\ \dfrac{x}{(x+1)(x-1)}&\quad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{++++++}{\textsf{------------}}\!\!\underset{0}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{------}{\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array} \end{array}$

Como na inequação (i) o quociente é ≤ 0, então o intervalo de interesse é

$x<-1\quad\mathrm{ou}\quad0\le x<1.$

Conjunto solução: S = {x ∈ ℝ: x < −1 ou 0 ≤ x < 1}.

ou em notação de intervalos

S = ]−∞, −1[ ⋃ [0, 1[ .

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