Question

a solução da inequação (x-3) (-x² + 3x +10) < 0 ??

Answer 1

(x-3)(-x²+3x+10) < 0

Vamos igualar a zero esquecendo o sinal da desigualdade.

(x-3)(-x²+3x+10) = 0

x - 3 = 0  |   ou   -x² + 3x + 10 = 0

x = 3       |

-x²+3x + 10 = 0

x²-3x-10 = 0

x² -( 5x+2x) -10  = 0

x²-5x + 2x - 10 = 0 

x(x-5) + 2(x-5) = 0

(x+2)(x-5) = 0

x = -2 ou x = 5
---------------------

Temos três raizes.

x = 3
x =  -2
x = 5
--------------------

Agora temos que achar os pontos máximos e mínimos da função.

y = (x-3)(-x²+3x+10) = 0

Vamos efetuar as distributiva para derivarmos.

y = x*-x²+x*3x+x*10 -3*-x²-3*3x-3*10 = 0

y = -x³+3x²+10x+3x²-9x -30 = 0

y = -x³ +6x²+x-30 = 0           <= essa função corta em y = -30

y' = -3x² +12x +1
----------------------

Igualando a zero teremos os pontos críticos.

y' = 0

-3x²+12x+1 = 0

Δ = b² -4ac

Δ = 12²-4*-3*1

Δ = 144 + 12

Δ = 156
-------------

x = (-b +/- √Δ)/2a

x = (-12 +/- √156)/2*-3

x = (-12 +/- √156)-6


156 | 2

78 | 2

39 | 3

13 | 13

---------

156 = 2²39

x' = (-12 - √2²39)/-6

x' = (-12 - 2√39)/-6

x' = [ -2(6 + √39)/-6]

x' = (6 + √39)/3  ≈ 4,08
------------------------


x'' = (-12 + √2²39)/-6

x'' = (-12 + 2√39)/-6

x'' = [ 2(-6+√39)/-6) ]

x'' = (-6+√39)/-3 ≈ -0,08
-----------------------

Derivando y' para substituir os pontos críticos:


y'' = d/dx( -3x²+12x+1)

y'' = -6x + 12

y(x')'' = -6*(x') + 12

y(4,08)'' = -6*4,08 + 12 ⇒ -12,48 

y(4,08)'' < 0 é ponto máximo
----------------------

y(x'')'' = -6*x'' + 12

y(-0,08)'' = -6*-0,08 + 12

y(-0,08)'' > 0 é ponto mínimo!

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Grafico:
                             ^
                             | y                               
                             |                                 ´´ 
                             |                           ´´       ´´
                             |                      ´´                ´´
------------------------|--------------------------------------´´----->
             -2´´    -0,08                    3          4,08       5  ´          x
                 ´´                       ´´                                       ´´
                    ´              ´´
                     ´´       ´´
                      ´´  ´´   -30

Agora repare:

Para que:  para x < 0 deveremos:

S = { X ∈ R |  3  > x > -2 e   3 > x > 5 }