Question

a solução da inequacao 3 elevado a x < 243 é o intervalo

Answer 1

Podemos reescrever essa inequação exponencial substituindo o número 729 pela potência de base 3 e expoente 6. Feito isso, estabeleceremos a inequação apenas entre os expoentes:

(3x)x – 1 ≤ 729

(3x)x – 1 ≤ 36

x(x – 1) ≤ 6

x² – x – 6 ≤ 0

Agora utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = (– 1)² – 4.1.(– 6)

Δ = 1 + 24

Δ = 25

x = – (– 1) ± √25

      2.1

x = 1 ± 5

     2

x' = 1 + 5 = 6 = 3

   2       2

x'' = 1 – 5 = – 4 = – 2

2         2

Portanto, a solução da inequação é dada por S = {x  R | – 2 ≤ x ≤ 3}.

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Questão 2

Para resolver a inequação exponencial 22x + 2 – 2 x + 3 > 2x – 2, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.

22x · 22 – 2x · 23 > 2x – 21

(2x)2 · 22 – 2x · 23 > 2x – 21

Façamos y = 2x:

y2 · 22 – y · 23 > y – 21

4y2 – 8y > y – 2

4y2 – 9y + 2 > 0

Temos então uma inequação do 2° grau, que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:

∆ = b² – 4.a.c

∆ = (– 9)² – 4.4.2

∆ = 81 – 32

∆ = 49

y = – b ± √∆

2.a

y = – (– 9) ± √49

2.4

y = 9 ± 7

8

y1 = 9 + 7

      8

y1 = 16

       8

y1 = 2

y2 = 9 – 7

       8

y2 = 2

      8

y2 = 1

       4

Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver y = 2x:

Para y1 = 2

2x = y

2x = 2

x1 = 1

Para y2 = 1/4

2x = y

2x = 1/4

2x = 2– 2

x2 = – 2

O enunciado pediu o conjunto solução da inequação exponencial. Como as raízes são x1 = 1 e x2 = – 2, o conjunto solução é S = {x  R | x < – 2 ou x > 1}.

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Questão 3

Para resolver a inequação exponencial proposta no exercício, simplificaremos a fração 3/9:

Multiplicaremos agora o expoente que está dentro dos parênteses pelos que estão fora:

Podemos estabelecer a inequação apenas entre os expoentes:

x² – x ≥ 3 – x

2     2            

Multiplicaremos toda a inequação por dois:

x² – x ≥ 6 – 2x

x² + x – 6 ≥ 0

Pela fórmula de Bhaskara, teremos:

Δ = 1² – 4.1.(– 6)

Δ = 1 + 24

Δ = 25

x = – 1 ± √25

2.1

x = – 1 ± 5

2

x' = – 1 + 5 = 4 = 2

      2       2

x'' = – 1 – 5 = – 6 = – 3

 2          2

Portanto, a alternativa que corresponde à solução encontrada é a letra a.

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Questão 4

Inicialmente podemos escrever o número 1 como a potência de base 0,5 e expoente 0:

0,5(1 – x) > 1

0,5(1 – x) > 0,50

Como as bases das potências são iguais, podemos estabelecer a inequação apenas entre os expoentes. Lembrando que, como a base é 0,5, um número menor do que 1, devemos inverter a desigualdade:

1 – x < 0

– x < – 1

x > 1

Portanto, a alternativa que apresenta a solução correta é a letra a.