Question

A solução da inequação (2x+1)^{29} . x^{10} . (x-1)^{12} >0 é:

a) x> -1/2
b) x>0
c) x>1
d) x> -1/2 e x ≠ 0 e x≠1
e) x< -1/2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Leleeuu, que a resolução é mais ou menos simples.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se o conjunto-solução da inequação-produto:

(2x+1)²⁹ * x¹⁰ * (x-1)¹² > 0

Note que temos aí em cima um produto de três fatores cujo resultado deverá ser positivo (maior do que zero).
Agora vamos raciocinar juntos: se o produto é entre três fatores e o resultado tem que ser positivo (>0), então todos os três fatores deverão ser positivos (>0), pois naquele jogo de sinais iremos ter que: mais com mais dá mais para o produto entre os dois primeiros fatores; e quando multiplicado pelo terceiro fator, este também terá que ser positivo, para que tenhamos, no final, o resultado positivo (>0), concorda?
Note que não poderíamos fazer isso se considerássemos todos os três fatores negativos, pois aí o produto entre eles três iria dar negativo (<0), concorda também?

ii) Então vamos considerar que os três fatores, que formam o produto da inequação-produto da sua questão, deverão (todos) ser positivos (>0).
Note que temos três funções que se multiplicam e cujo resultado deverá ser positivo (>0). Assim, cada uma das equações deverá ser positiva (>0), ou seja:
Temos:  f(x) = (2x+1)²⁹ > 0; temos: g(x) = (x)¹⁰ > 0; e temos h(x) = (x-1)¹² > 0.

iii) Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada um das funções acima. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de cada uma das equações e, no fim, daremos qual é o conjunto-solução para a inequação originalmente dada.

iv) Então vamos encontrar as raízes de cada uma das equações dadas:

f(x) = (2x+1)²⁹ ---> raízes: (2x+1)²⁹ = 0 ---> 2x+1 = ²⁹√(0) ---> 2x+1 = 0 ---> 2x = - 1 ---> x = -1/2 <---- Esta é a raiz da função f(x) = (2x+1)²⁹.

g(x) = x¹⁰ ---------> raízes: x¹⁰ = 0 -------> x = ¹⁰√(0) ------> x = 0 <--- Esta é a raiz da função g(x) = x¹⁰.

h(x) = (x-1)¹² ---> raízes: (x-1)¹² = 0 ---> x-1 = ¹²√(0) ---> x-1 = 0 ---> x = 1 <--- Esta é a raiz da função h(x) = (x-1)¹²

iv) Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. Assim teremos:

a) f(x) = (2x+1)²⁹ > 0 ... - - - - - - - - (-1/2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = (x)¹⁰ > 0.......... +  + + + + + + + + + + +  (0) + +  + + + + + + + + +  +
c) h(x) = (x-1)¹² > 0....... + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (1) + + + + + +
d) a * b * c .................- - - - - - - -  (-1/2) + + + + (0) + + + + + + (1) + + + + + +

Veja: como queremos que o produto de f(x)*g(x)*h(x) seja positivo (>0), então só nos vai interessar onde tiver sinal MAIS no item "d" acima, que nos fornece o resultado da multiplicação das três funções acima. Assim, o conjunto-solução será dado pelos seguintes intervalos:

-1/2 < x < 0, ou 0 < x < 1, ou x > 1  ---- Esta é a resposta.

Note que "x" nunca poderá ser uma das raízes, pois se "x" pudesse ser uma das raízes, então os fatores seriam iguais a "0" e, como tal, o produto entre eles iria dar "0" e não maior do que zero (>0). E note também que o único fator que, em função de sua raiz, tem variação de menos e mais é o primeiro fator (2x+1)²⁹ porque o expoente é ímpar. Os outros fatores, como o expoente é par serão sempre positivos, por mais negativo que seja o próprio fator, entendeu?

Agora note uma coisa importante: o conjunto-solução que demos acima como resposta é EQUIVALENTE a:  x > -1/2 e x ≠ 0 e x ≠ 1 <--- Veja que isto está "dizendo" a mesma coisa que vimos na nossa resposta.
Então, a única opção que dá a resposta EQUIVALENTE à que demos na nossa resposta é a opção que está no item "d", que afirma isto:

d) x > -1/2;  e x ≠ 0; e x ≠ 1 <--- Esta é a resposta EQUIVALENTE a que demos. Logo, esta é a resposta para efeito da indicação da opção correta fornecida pela sua questão. Opção "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.