Question

A solucao da equacao logaritmica log base 4 (x-6) - log base 2 (2x-16) = -1 eh o numero real m desse modo podemos afirmar:
A resposta é igual a dez. Porém no meu modo de resolução encontrei o valor 4, alguém pode me explicar onde eu errei?

log base 4 (x-6) - log base 2 (2x-16) = -1
Coloquei na base 2
log base 2 (x-6) / log base 2 (2) - log base 2 (2x-16) = -1
log base 2 (x-6) / 2 - log base 2 (2x-16) = -1
Passei o 2 multiplicando
log base 2 (x-6) - log base 2 (2x-16) = -2
Apliquei a propriedade dos logaritmos
log base 2 (x-6)/(2x-16) = -2
Passei a base para o outro lado
(x-6)/(2x-16)= 2^-2
(x-6)/(2x-16)=1/4
Passei 2x-16 multiplicando
x-6= 2x-16/4
Multipliquei os dois lados da igualdade por 4
4x-24 = 2x-16
2x = 8
x = 4
Por que está errado?

Answer 1

Olá amigo, você errou na hora que você passou o 2 multiplicando para o outro lado da igualdade. era um número misto deveria ter feito MMC.

Answer 2

Seu deslize foi na hora de "passar o 2 multiplicando". O correto é multiplicar toda a equação por 2. Assim, tanto o -1 dobraria quanto o $-\log_{2}{(2x-16)}$.

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Equação logarítmica e as propriedades dos logaritmos.

Uma equação logarítmica é uma equação que apresenta logaritmos. Para você mandar bem com essas equações, precisa se certificar que conhece bem todas as propriedades operatórias dos logaritmos.

Vamos recordar:

• Logaritmo do produto: $\log_{a}{(b \cdot c)} = \log_{a}{(b )} + \log_{a}{(c)}$
• Logaritmo do quociente: $\log_{a}{(b / c)} = \log_{a}{(b )} - \log_{a}{(c)}$
• Logaritmo da potência: $\log_{a}{(b^c)} = c \cdot \log_{a}{(b )}$
• Mudança de base: $\log_{a}{(b)} = \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$

Dado isso, vamos à resolução:

$\log_{4}{(x-6)} -\log_{2}{(2x-16)} =-1$

$\frac{\log_{2}{(x-6)}}{\log_{2}{4}} -\log_{2}{(2x-16)} =-1$

$\frac{\log_{2}{(x-6)}}{2} -\log_{2}{(2x-16)} =-1$

${\log_{2}{(x-6)}} -2\log_{2}{(2x-16)} =-2$

${\log_{2}{(x-6)}} -\log_{2}{(2x-16)^2} =-2$

$\log_{2}\frac{(x-6)}{(2x-16)^2} =-2$

Usando da definição de logaritmo:

$\frac{(x-6)}{(2x-16)^2} =2^{-2}$

$\frac{(x-6)}{(2x-16)^2} =\frac{1}{4}$

$4(x-6) = (2x-16)^2$

$4x-24=4x^2-64x+256$

$4x^2-68x+280 = 0$

Resolvendo a equação, você encontra $x=10$ ou $x=-7$. Como x não pode ser negativo (o logaritmando ficaria negativo), logo $x = 10$.

Seu deslize foi na hora de "passar o 2 multiplicando". O correto é multiplicar toda a equação por 2. Assim, tanto o -1 dobraria quanto o $-\log_{2}{(2x-16)}$.

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Veja essa outra questão sobre equação logarítmica:

https://brainly.com.br/tarefa/50715801