Question

A solução da equação diferencial dy/dt = 2+2y+t+ty que satisfaz o valor inicial y(0)=5 é:

Answer 1

$\dfrac{dy}{dt}=2+2y+t+ty\\\\\\ \dfrac{dy}{dt}=2(1+y)+t(1+y)\\\\\\ \dfrac{dy}{dt}=(2+t)(1+y)~~~~~~\mathbf{(i)}$


Verificando se $y=-1$ é solução para a equação $\mathbf{(i)}:$

$\dfrac{d}{dt}(-1)=(2+t)(1-1)\\\\\\ 0=0~~~~~~(\checkmark)$


Agora vamos achar as outras soluções. Manipulando a equação $\mathbf{(i)}$ chegamos a

$\dfrac{dy}{1+y}=(2+t)\,dt\\\\\\ \displaystyle\int\!\dfrac{dy}{1+y}=\int\!(2+t)\,dt\\\\\\ \mathrm{\ell n}|1+y|=2t+\dfrac{t^2}{2}+C~~~~~~\mathbf{(ii)}$


sendo $C$ a constante a determinar pelo valor inicial.


Para $t=0,$ temos $y=5.$ Logo,

$\mathrm{\ell n}|1+5|=2\cdot 0+\dfrac{0^2}{2}+C\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}C=\mathrm{\ell n\,}6 \end{array}}$


E a solução para o problema do valor inicial procurada é dada por

$\mathrm{\ell n}|1+y|=2t+\dfrac{t^2}{2}+\mathrm{\ell n\,}6\\\\\\ \mathrm{\ell n}|1+y|-\mathrm{\ell n\,}6=2t+\dfrac{t^2}{2}\\\\\\ \mathrm{\ell n}\left|\dfrac{1+y}{6}\right|=2t+\dfrac{t^2}{2}\\\\\\ \left|\dfrac{1+y}{6}\right|=e^{2t+\frac{t^2}{2}}$

$\dfrac{|1+y|}{6}=e^{2t+\frac{t^2}{2}}\\\\\\ |1+y|=6e^{2t+\frac{t^2}{2}}\\\\\\ 1+y=\pm\,6e^{2t+\frac{t^2}{2}}\\\\ y=\pm\,6e^{2t+\frac{t^2}{2}}-1$


Mas para satisfazer a condição inicial o sinal negativo não se aplica. Observe que se

$y=-6e^{2t+\frac{t^2}{2}}-1$


Para $t=0,$ teríamos

$y=-6-1~~\Rightarrow~~y=-7~~~(\text{n\~ao serve})$

_________

Logo, a solução procurada é

$\boxed{\begin{array}{c}y=6e^{2t+\frac{t^2}{2}}-1 \end{array}}$


Bons estudos! :-)