Question

A solução da Equação Diferencia Ordinária abaixo é:

$x\frac{dy}{dx} =4y$

xdy/dx=4y

a) y=cx

b) y=cx^2

c) y=4cx

d) y=x^4c

e) y=4x^2

Answer 1

• Resolvendo essa equação diferencial ordinária pelo método da separação de variáveis, temos que a alternativa correta é da D).

Para resolver essa equação diferencial, irei utilizar o método da separação de variáveis.

Esse método consiste na integração de ambos os lados da igualdade, aplicando na sua questão, temos

                                 $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} x\frac{dy}{dx}=4y \end{gathered}$

Como temos uma igualdade, podemos fazer o que quisermos com um lado, mas devemos fazer a mesma coisa com o outro. Dessa forma, vamos multiplicar ambos os lados por dx

                     $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} x\frac{dy}{\!\diagup\!\!\!\!dx}\cdot \!\diagup\!\!\!\!dx=4y \cdot dx \end{gathered}$

                      $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} xdy=4y dx \end{gathered}$

Vamos agora, utilizando o mesmo pensamento, dividir ambos os lados da igualdade por x

                     $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \frac{\!\diagup\!\!\!\!xdy}{\!\diagup\!\!\!\!x}=\frac{4y dx}{x} \end{gathered}$

                       $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\frac{dy}{y}=\frac{ 4dx}{x} \end{gathered}$

Feito isso, devemos integrar ambos os lados da igualdade, ficando então

                    $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{dy}{y}=\int \frac{ 4dx}{x} \end{gathered}$

                 $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{dy}{y}=4\cdot \int \frac{ dx}{x} \end{gathered}$

                $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\ln (y)=4\ln (x)+k\end{gathered}$

Pela propriedade de logaritmo, temos que $\large\displaystyle\begin{gathered}\blue{ \alpha \cdot \log x = \log x^a }\end{gathered}$. Logo

                $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\ln (y)=\ln (x)^4+k\end{gathered}$

Vamos então manipular novamente essa igualdade, perceba que podemos tirar esses logs com a seguinte propriedade $\large \displaystyle\text{ \begin{gathered} \blue{\alpha ^{ \log _{\alpha }x}=x}\end{gathered} }$.

Sabendo que $\large \displaystyle\begin{gathered} \blue{\ln x=\log _ex}\end{gathered}$, vamos então jogar e elevado aos ln em ambos os lados, ficando então

               $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}e^{\ln (y)}=e^{\ln (x)^4}\cdot e^{k}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered}\therefore \boxed{y=x^4k}\end{gathered}$

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