Question

A solução da equação 2^x+1 - 2^3-x - 6 = 0 é ?

Answer 1

Equação: $2^{x+1}-2^{3-x}-6= 0$

Primeiro precisamos expandir esses expoentes. Observe:
$2^{x+1}-2^{3-x}-6=0 \\ \\ 2^x \cdot 2 - 2^{-x} \cdot 2^3 - 6= 0 \\ \\ 2^x \cdot 2 - \frac{1}{2^x} \cdot 8 - 6 = 0$

Agora devemos tirar esse $2^x$ do denominador, para isso, irei multiplicar toda a equação por $2^x$ e, após isso, irei reduzi-la. Observe:
$2^x\cdot (2^x \cdot 2 - \frac{1}{2^x} \cdot 8 - 6) = 2^x \cdot 0 \\ \\ 2^x \cdot 2^x \cdot 2 - 2^x \cdot \frac{1}{2^x} \cdot 8 - 2^x \cdot 6= 0 \\ \\ 2 \cdot (2^x)^2 - 8 \cdot \not2^x \cdot \frac{1}{\not2^x} - 6 \cdot 2^x = 0 \\ \\ 2 \cdot (2^x)^2-8-6 \cdot 2^x= 0$

Para facilitar os cálculos vamos fazer a seguinte substituição:
$2^x= k$

Substituindo na equação original, teremos:
$2 \cdot (2^x)^2-8-6 \cdot 2^x= 0 \\ \\ 2 k^2 -8 - 6k= 0$

Encontrando o valor de k utilizando o método da fatoração:
$2 \cdot k^2 -8 - 6k= 0 ~~~~~~ \div 2 \\ \\ k^2-3k-4= 0 \\ \\ (k-4) \cdot (k+1)= 0 \\ \\ \\ k-4= 0 ~~~~~~ k+1= 0 \\ \\ \boxed{k= 4} ~~~~~~~ k= -1$

Por fim, voltemos na substituição feita e encontremos o valor de x:
$2^x= k \\ \\ 2^x= 4 \\ \\ 2^x= 2^2 \\ \\ \boxed{\boxed{x= 2}}$

$\boxed{S= \{x \in \mathbb{R} ~/ ~ x= 2\}}$

Obs.: a segunda resposta ( k= -1) não convém, pois qualquer que seja o valor de x em 2^x isto nunca retornará um valor negativo.

Answer 2

A solução da equação 2ˣ⁺¹ - 2³⁻ˣ - 6 = 0 é 2.

Na multiplicação de potências de mesma base, devemos repetir a base e somar os expoentes.

Sendo assim, a equação exponencial 2ˣ⁺¹ - 2³⁻ˣ - 6 = 0 pode ser escrita como 2ˣ.2 - 2³.2⁻ˣ - 6 = 0.

Vamos fazer a substituição 2ˣ = y. Assim, obtemos a seguinte equação:

2y - 8/y - 6 = 0

2y² - 6y - 8 = 0

y² - 3y - 4 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-3)² - 4.1.(-4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

$y=\frac{3+-\sqrt{25}}{2}$

$y=\frac{3+-5}{2}$

$y'=\frac{3+5}{2}=4$

$y''=\frac{3-5}{2}=-1$.

Se y = 4, então o valor de x é:

2ˣ = 4

2ˣ = 2²

x = 2.

Se y = -1, então o valor de x é:

2ˣ = -1.

Note que não é possível calcular o valor de x.

Portanto, podemos concluir que o conjunto solução da equação exponencial é S = {2}.

Exercício sobre equação exponencial: https://brainly.com.br/tarefa/6883474