Question

A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos utilizando alumínio. Um determinado cliente pediu uma peça especial com um formato diferente. Conforme imagem apresentada abaixo, dada pela função y=1/x². Analisando as características da figura, representada no plano cartesiano. Determine o volume (aproximado) de material usado para produção de 150 peças iguais. Sabendo que o volume do alumínio é dado em kg.

Answer 1

Resposta:

Aproximadamente 1305 Kg (1306,545 Kg).

Explicação passo-a-passo:

Lembre que o volume de uma única peça é dado por

$V = \pi \int\limits^b_a {f(y)^2} dy$

Em particular, pelos dados fornecidos sabe-se que

$\begin{cases}a = \frac{1}{4} \\b = 4 \\g(x) = y=\frac{1}{x^2} \Longleftrightarrow f(y) = x = \frac{1}{\sqrt{y}}\end{cases}$

Logo, basta aplicar tais valores e encontrar  o resultado da integral, i.e.

$V = \pi \int\limits^b_a {f(y)^2} dy \Longleftrightarrow V = \pi \int\limts^4_\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^{2}}dy \Longleftrightarrow$

$V = \pi \int\limts^4_\frac{1}{4}{\frac{1}{y}}dy \Longleftrightarrow V = \pi \int\limts^4_\frac{1}{4}{\frac{1}{y}}dy \Longleftrightarrow$

$V = \pi \ln(4) - \pi \ln\left(\frac{1}{4}\right) \Longleftrightarrow V = \pi \left[ln(4)-\ln\left(\frac{1}{4}\right)\right] \Longleftrightarrow$

$V = \pi \ln\left(\frac{4}{\frac{1}{4}}\right) \Longleftrightarrow V = \pi \ln(16) \approx 8,7103$

Uma vez que busca-se determinar o volume de material para 150 peças, basta multiplicar V por 150. Dessarte,

$K = V \cdot 150 \Longleftrightarrow K = 8,7103 \cdot 150 \approx 1306,545$