A sequência (x, y, z) define uma progressão geométrica crescente cuja soma destes termos é igual a 56. Considerando que a sequência (4x, 5y, 4z) determina uma progressão aritmética, assinale o que for correto. 01) A soma do primeiro termo da progressão aritmética com o da progressão geométrica é 32. 02) A soma dos três primeiros termos da progressão aritmética é 240. 04) O produto dos três primeiros termos da progressão geométrica é 212. 08) A divisão entre a razão da progressão aritmética e a razão da progressão geométrica é ímpar.
Soluções para a tarefa
PG é (x, y, z), onde
x = a₁
y = a₁q
z = a₁q²
PA é (4x, 5y, 4z), onde
a'₁ = 4a₁
a'₂ = 5a₁q
a'₃ = 4a₁q²
Pela propriedade do termo médio da PA temos que
a'₂ = (a'₁ + a'₃)/2 => 5a₁q = (4a₁ + 4a₁q²)/2 => 10a₁q = 4a₁ + 4a₁q² => 10qa₁ = a₁(4 + 4q²), cancelado o a₁ fica 10q = 4q² + 4 => 4q² - 10q + 4 = 0, onde
a = 4, b = -10 e c = 4
Δ = (-10)² - 4.4.4
Δ = 100 - 64
Δ = 36
q = [-(-10) + ou - √Δ]/2.4
q' = (10 + 6)/8 => q' = 16/8 => q' = 2
q" = (10 - 6)/8 => q" = 4/8 => q" = 1/2, não serve, pois a PG é crescente. Assim temos
a₁ + a₁.2 + a₁4 = 56 => a₁(1 + 2 + 4) = 56 => a₁ = 56/7 => a₁ = 8. Assim, temos que
PG é (8, 16, 32)
PA é (32, 80, 128)
1) Falso, pois, 8 + 32 = 40
2) Verdadeiro, pois, 32 + 80 + 128 = 240
4) Falso, pois, 8.16.32 = 4096
8) Falso, pois, r = 80 - 32 = 48 e, 48/2 = 24 que é par. Logo, item correto é o 2