Question

A sequência (x, x+y, 4x...) é uma Progressão Aritmética, e a sequência (x, xy, 18...) é uma Progressão Geométrica. Calcule o 7° termo de cada uma dessas progressões.

Answer 1

Na PA (x, x + y, 4x, ...) a razão r é obtida subtraindo um termo qualquer pelo termo anterior:

4x - (x + y) = x + y - x  ⇒ 4x - x - y = y  ⇒ 2y = 3x  ⇒ y = 3x/2


Na PG (x, xy, 18, ...) a razão q é obtida dividindo um termo qualquer pelo termo anterior:
$\dfrac{18}{xy} =\dfrac{xy}{x}\Rightarrow\ \ \dfrac{18}{xy} =y\Rightarrow\ \ y^{2}=\dfrac{18}{x}\Rightarrow\ \ y=\sqrt{\dfrac{18}{x}}$


Agora igualamos os valores de y encontrados:

$\dfrac{3x}{2} = \sqrt{\dfrac{18}{x}}\Rightarrow\ \ \left(\dfrac{3x}{2}\right)^{2} = \left(\sqrt{\dfrac{18}{x}}\right)^{2}\Rightarrow\ \ \dfrac{9x^{2}}{4}=\dfrac{18}{x}}\Rightarrow 9x^{3}=72\Rightarrow\\ \\ \\ x^{3}=\dfrac{72}{9}\Rightarrow\ \ x^{3}=8\Rightarrow\ \ x=\sqrt[3]{8}\Rightarrow\ \ x = 2$


Substituindo o valor de x em y = 3x/2
$y=\dfrac{3x}{2}\Rightarrow \ \ y=\dfrac{3\cdot 2}{2}\Rightarrow \ \ y=3$


Como x = 2 e y = 3, a PA é:

PA (x, x + y, 4x, ...) ⇒ PA (2, 2 + 3, 4·2, ...) ⇒ PA (2, 5, 8, ...)

Se trata de uma PA de razão r = 3, Portanto, o 7º termo da PA é:

a7 = a1 + 6r ⇒  a7 = 2 + 6·3 ⇒ a7 = 20


A PG é:

PG (x, xy, 18, ...) ⇒  PG (2, 2·3, 18, ...) ⇒  PG (2, 6, 18, ...)

Se trata de uma PG de razão q = 3, logo o 7º termo da PG é:

$a_{n} = a_{1}\cdot q^{n-1}\Rightarrow \ \ a_{7} = 2\cdot 3^{7-1}\Rightarrow \ \ a_{7} = 2\cdot 3^{6}\Rightarrow \ \ a_{7} = 2\cdot 729\Rightarrow\\ \\ \\ a_{7} = 1458$

Answer 2

Resposta:

a7= 1458

Explicação passo a passo: