Question

A sequência (x,4,y,z) é uma progressão geométrica e (x,y,z-2) é uma progressão aritmética, com y<0. Assinale a alternativa que dá o valor de z.

Answer 1

Boa tarde

Da   P.A.   (x,y,z-2)  tiramos :  y-x = z-2-y ⇒ z = 2y - x +2   (1)

Da P.G. ( x,4,y,z) tiramos  4/x=y/4=z/y  e  daí :

4/x=y/4 ⇒xy=16 ⇒x=16/y   (2)

y/4=z/y ⇒ y² = 4z ⇒z=y²/4     (3)

levando (2)  e (3) em (1)

z=2y-x+2 ⇒ y²/4 = 2y- 16/y +2 ⇒ y² =8y -64 /y +8 ⇒y³=8y²-64+8y ⇒

y³-8y²-8y+64 = 0 ⇒ y² (y-8) - 8(y-8) = 0 ⇒(y-8) (y²-8)=0  temos então :

y-8=0 ⇒y=8 (não serve )   e

y²-8=0 ⇒y²=8 ⇒y = +- √8  como o y é negativo temos  y = -√8 =-2√2

voltando em (3)  z= y²/4 ⇒ z= 8 / 4 ⇒ z= 2

Resposta :  z=2

Obs. temos ainda  x= -4√2    a    P.G.  ( -4√2 , 4 , -2√2  , 2 )   e   a

P.A.  ( -4√2 , -2√2 , 0 )

Answer 2

Para que as sequências descritas sejam uma progressão geométrica e uma progressão aritmética, temos que z = 2.

O que é uma progressão aritmética?

Uma sequência numérica é chamada de progressão aritmética ou PA, quando cada termo pode ser obtido de seu antecessor somando-se uma mesma constante, chamada razão da PA.

O que é uma progressão geométrica?

Uma progressão geométrica ou PG é uma sequência numérica onde cada termo pode ser obtido multiplicando o termo antecessor por uma constante fixa.

Como a sequência (x, 4, y, z) é uma progressão geométrica, podemos escrever as igualdades:

4/x = z/y

4/x = y/4

Como a sequência (x, y, z-2) é uma progressão aritmética, temos que:

y - x = z - 2 - y

Podemos reorganizar essas três igualdade na forma:

xz = 4y

xy = 16

x - 2y + z = 2

Multiplicando a terceira equação por x e, em seguida, substituindo os valores dados nas duas primeiras equações, temos que:

x^2 -2xy +xz = 2x

x^2 -32 + 4y = 2x

Como y=16/x, temos que, x <0 e:

x^2 - 32 + 64/x = 2x

x^3 - 2x^2 - 32x + 64 = 0

(x-2) * (x^2 - 32)=0

Queremos x < 0, logo, de x^2 - 32 = 0, temos que:

$x = - \sqrt{32}$

Substituindo, temos:

$y \: = - \frac{16}{ \sqrt{32} }$

De onde concluímos que:

$z = \frac{4y}{x} = 2$

Para mais informações sobre sequências numéricas, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/40298301