Question

A sequência (x, 3, 7) é uma PA., e a sequência (2x, 12, 3y+1) é uma PG. Quais são os valores de x e y?

Answer 1

E ae mano,

vamos analisar a P.A. pela média aritmética (O termo central é igual a metade da soma dos termos extremos), e a P.G. pela média geométrica (O quadrado do termo central é igual ao produto dos termos extremos),
 
$\boxed{M.a.: (a_1,a_2,a_3)~\to~ a_2=\dfrac{(a_1+a_3)}{2}}\\\\\\ \boxed{M.g.: (a_1,a_2,a_3)~\to~(a_2)^2=(a_1)\cdot(a_3)}$

simultaneamente em um sistema do 1° grau..

$\begin{cases} \dfrac{x+7}{2}=3~~(i)\\ 2x\cdot(3y+1)=12^2~~(ii) \end{cases}\\\\\\ Em~i:\\\\ x+7=2\cdot3\\ x+7=6\\ x=6-7\\ x=-1\\\\ i~em~ii:\\\\ 2\cdot(-1)\cdot(3y+1)=144\\ (-2)\cdot(3y+1)=144\\ -6y-2=144\\ -6y=146\\\\ y= -\dfrac{146}{~~6}\\\\ y=- \dfrac{73}{3}$

Portanto, os valores de (x e y) são:

$\Large\boxed{\boxed{x=-1~~e~~y=- \dfrac{73}{3}}}$

tenha ótimos estudos ;D