Question

a sequencia ( m,2,n) é uma progressão aritmética e a sequencia (m,n,-18) é uma progressão geométrica . O intervalo que contém os valores de n é?

Answer 1

* Em uma PA de 3 termos o termo central é sempre a média aritmética do primeiro com o 3º termo, ou seja:
a2 = (a1+ a3)/2       ou, para facilitar:
2 . a2 = a1 + a3      substituindo:
2 . 2 = m + n
m + n = 4    <<< 1º dado
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* Em uma PG de 3 termos o termo central é sempre a média geomética do primeiro com o 3º termo, ou seja:

a2 = √(a1 . a3)        ou:
(a2)² = a1 . a3        substituindo:
n² = m . -18
n² = -18m        <<< segundo dado.
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Então temos um sistema de equações lineares:
m + n = 4 
n² = -18m

Passo 1, isole o m ou n em uma das equações:
m + n = 4
m = 4 - n

Passo 2, substitua na outra equação:
n² = -18m 
n² = -18(4 - n)
n² = -72 + 18n          passando tudo pro mesmo lado:
n² - 18n + 72 = 0

Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-18)² - 4.1.72
Δ = 324 - 288
Δ = 36

n = -b +/- √Δ  /2a
n = -(-18) +/- √36  /2.1
n = 18 +/- 6 / 2
n = 9 +/- 3

n1 = 9+3 = 12
n2 = 9-3 = 6

Como o exercício pede apenas o intervalo que contém os valores de n paramos por aqui, n = {6.12} 
 
(caso tenha alternativas e vc tenha esquecido de colocar, procure aquela que satisfaça esse conjunto solução} 

Bons estudos