Question

A sequência de números inteiros representada por (x, y, z) é uma Progressão Geométrica crescente. Se a soma dos três termos é igual a 31 e o produto dos três termos é igual a 125, então é CORRETO afirmar que a razão dessa progres-são é igual a:

* Por favor, quem souber coloque a resolução para que eu possa entender como chegaram na resposta.



 $A)\frac{1}{25} (B) \frac{1}{5}$

(C) 5

(D) 25

Answer 1

Olá Rhian!!

De acordo com o enunciado, temos:

$\begin{cases} \mathsf{x + y + z = 31 \qquad \qquad (i)} \\ \mathsf{xyz = 125 \qquad \qquad \qquad (ii)}\end{cases}$

  Seja "q" a razão da P.G; ademais, sabemos que a P.G é crescente, assim, temos que:
 
$\\ \displaystyle \bullet \quad \mathsf{Crescente \rightarrow \begin{cases} \mathsf{se, \ x > 0, \ ent\~ao \ q > 1} \\ \mathsf{se, \ x < 0, \ ent\~ao \ 0 < q < 1} \end{cases}} \\\\\\ \bullet \quad \mathsf{Decrescente \rightarrow \begin{cases} \mathsf{se, \ x > 0, \ ent\~ao \ 0 < q < 1} \\ \mathsf{se, \ x < 0, \ ent\~ao \ q > 1} \end{cases}}$


 Isto posto, aplicamos o conceito de P.G para a razão (q). Segue,

$\displaystyle \mathsf{\frac{y}{x} = \frac{z}{y} = q \Leftrightarrow \begin{cases} \mathsf{y = xq \qquad \qquad (iii)} \\ \mathsf{z = yq \qquad \qquad (iv)} \end{cases}}$

 Substituindo (iii) em (iv),

$\\ \displaystyle \mathsf{z = yq} \\ \mathsf{z = (xq) \cdot q} \\ \mathsf{z = xq^2 \qquad \qquad (v)}$


Por conseguinte, basta substituir (iii) e (v) nas equações (i) e (ii), veja:

$\\ \displaystyle \begin{cases} \mathsf{x + y + z = 31} \\ \mathsf{xyz = 125}\end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{x + xq + xq^2 = 31} \\ \mathsf{x \cdot xq \cdot xq^2 = 125}\end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{x(1 + q + q^2) = 31 \qquad \qquad (vi)} \\ \mathsf{x^3q^3 = 5^3 \qquad \qquad \qquad \qquad (vii)}\end{cases}$


 Resolvendo (vii):

$\\ \displaystyle \mathsf{x^3q^3 = 5^3} \\\\ \mathsf{(xq)^3 = 5^3} \\\\ \mathsf{y^3 = 5^3} \\\\ \boxed{\mathsf{y = 5}}$


 Daí,

$\\ \displaystyle \begin{cases} \mathsf{x + y + z = 31} \\ \mathsf{xyz = 125}\end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{x + 5 + z = 31} \\ \mathsf{x \cdot 5 \cdot z = 125}\end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{x + z = 26} \\ \mathsf{xz = 25}\end{cases}$

 Resolvendo o sistema acima, por substituição:

$\\ \displaystyle \mathsf{xz = 25} \\\\ \mathsf{(26 - z)z = 25} \\\\ \mathsf{z^2 - 26z + 25 = 0} \\\\ \mathsf{(z - 1)(z - 25) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{z = 1}} \ \textsf{ou} \ \boxed{\mathsf{z = 25}}$

Obs.: se quiseres, podes solucionar a equação acima por Bháskara!


Suponha que o valor de "z" seja UM, então "x" valerá 25. Desse modo, a razão é 1/5; portanto, a sequência será:

$\mathsf{\left ( x, y, z \right ) = \left ( 25, 5, 1 \right )}$

que é DECRESCENTE! Todavia, o enunciado nos diz que a sequência é crescente. Por isso, 1/5 não é a razão!!

No mais, resta-nos considerar o valor de "z" sendo CINCO. Daí, teremos "x" valendo 1. Assim,

$\mathsf{\left ( x, y, z \right ) = \left ( 1, 5, 25 \right )}$

que é crescente (como no enunciado) de razão $\boxed{\boxed{\mathsf{q = 5}}}$!!

 
Logo, a alternativa c) é a correcta!!

Espero ter ajudado!