Question

A sequência an=10/n+4 converge para um número L, no caso L = 0 . De posse da desigualdade[an-L] menor que e, encontre o primeiro "n" que satisfaça a sentença acima ou seja a diferença em módulo entre an e L seja menor que e=1/100

Mostre os cálculos efetuados.

Answer 1

A sequência $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, dada por $a_n = \dfrac{10}{n+4}$, converge para $L = 0$.

Pretendemos então encontrar o menor valor de $n \in \mathbb{N}$ tal que:

$\left|a_n - L\right| < \varepsilon = \dfrac{1}{100}.$

Começamos então por escrever:

$\left|a_n - L\right| = \left|\dfrac{10}{n+4} - 0\right| = \left|\dfrac{10}{n+4}\right|.$

Uma vez que $n \in \mathbb{N}$, o denominador é positivo, bem como o numerador. Portanto, a fração é positiva, pelo que podemos remover o sinal de módulo, obtendo então a desigualdade:

$\left|\dfrac{10}{n+4}\right| = \dfrac{10}{n+4} < \dfrac{1}{100}.$

Podemos agora inverter ambos os lados da desigualdade, bem como o sentido da mesma:

$\dfrac{10}{n+4} < \dfrac{1}{100} \iff \dfrac{n+4}{10} > 100.$

Podemos agora resolver a inequação:

$\dfrac{n+4}{10} > 100 \iff n + 4 > 1000 \iff n > 1000 - 4 \iff n > 996.$

Concluímos então que o menor valor de $n$ que satisfaz a inequação é:

$n = 997.$

De facto, temos:

$a_{997} = \dfrac{10}{997+4} = \dfrac{10}{1001} < \dfrac{10}{1000} = \dfrac{1}{100} = \varepsilon.$

Resposta: $\boxed{n = 997}.$