Question

A sequência a seguir é uma progressão aritmética 3x – 1, 4x – 1, 7x + 3. Determine o valor do quarto
termo desta PA

Answer 1

Após a realização dos cálculos chegamos a conclusão de que o valor do quarto termo desta PA é $\textstyle \sf \sf a_4 = -\: 13$.

Progressão aritmética ( PA ) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é constante chamada de razão.

Representada por uma forma genérica:

$\Large \displaystyle \mathsf{ (\: a_1, a_2, a_3. \dotsi a_n \:) }$

Termo Geral de uma Progressão Aritmética:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{a_n = a_1 + (n -1) \cdot r } }$

Propriedade:

Qualquer termo de uma P.A., a partir do segundo termo  $\textstyle \sf \sf (\: a_2 \:)$, é sempre igual à média aritmética entre os termos anterior e posterior a ele.

$\Large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{ a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} } } }$

Dados fornecido pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 = 3x - 1 \\ \sf a_2 = 4x- 1 \\\sf a_3 = 7x + 3 \end{cases} } }$

Aplicando a definição de média aritmética, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{a_2 = \dfrac{a_1 +a_3}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 4x - 1 = \dfrac{(3x-1) +(7x+3)}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 4x - 1 = \dfrac{ 3x-1 + 7x+3 }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 4x - 1 = \dfrac{ 10x + 2 }{2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 10x + 2 = 2 \cdot (4x -1) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 10x +2 = 8x -2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 10x - 8x = - 2 - 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2x = - 4 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = - \dfrac{4}{2} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = - 2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 = 3x - 1 = -7\\ \sf a_2 = 4x- 1 = -9 \\\sf a_3 = 7x + 3 = -11 \end{cases} } }$

A razão pode ser calculada por:

$\Large \displaystyle \mathsf{r = a_2- a_1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{r =-9- (-7) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{r =-9 +7 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r = - 2 }$

O valor do quarto termo desta PA:

$\Large \displaystyle \mathsf{a_n = a_1 + (n-1) \cdot r }$

$\Large \displaystyle \mathsf{a_4 = -7 + (4-1) \cdot (-2) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{a_4 = -7 +3 \cdot (-2) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{a_4 = -7 - 6 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_4 = -\: 13 }$

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