Question

A sequencia (a,b,c) e uma PG crescente e a sequencia (a-1,b,c) e uma PA.Sabendo que a+b+c=19. Determine os valores de a,b e c .

Answer 1

Da PA tiramos que a razão é:

razão = b - (a-1)

razão = c - b

Igualando as duas razaos achadas:

b - (a - 1) = c - b

-a + 2b - c = -1

O enunciado nos da outra equação a+b+c = 19.

Vamos soma-la a equação achada anteriormente:

-a + 2b - c + (a + b + c) = -1 + 19

3b = 18

b = 18/3

b = 6

Substituindo este valor em uma das equações para achar uma relação entre "a" e "c":

a + b + c = 19

a + c = 19 - 6

a = 13 - c

Pela PG tiramos:

razão = c/b

razão = b/a

Igualando as duas razões achadas:

c/b = b/a

c = b²/a

Substituindo "b" por 6 e "a" por (13-c):

c = 36 / (13 - c)

13c - c² = 36

c² - 13c + 36 = 0

Bhaskara:

Δ = (-13)² - 4.1.36 = 25

$c_1=\frac{13+\sqrt{25}}{2.1}=\frac{13+5}{2}=9\\\\c_2=\frac{13-\sqrt{25}}{2.1}=\frac{13-5}{2}=4$

Como o enunciado diz que a PG deve ser crescente, ou seja, razão positiva, "c" deve ser maior que "b".

Assim descartamos c2 e ficamos com c = 9

Substituindo "c" sua relação com "a":

a = 13 - c

a = 13 - 9

a = 4

Resp.: "a", "b" e "c" são respectivamente 4, 6 , 9