Question

a sequencia (a, b, 7) é uma PA e a sequencia (a, b, 16) é uma PG. Sabendo que ambas as sequencias são crescentes, o décimo termo da PA é:
A) 30
B) 28
C) 26
D) 29
E) 27

Answer 1

Oi Laura,

podemos usar a segunda propriedade da P.A. (média aritmética), onde o dobro do termo central é igual a soma dos termos extremos..

$\text{P.A.}=(a_1,a_2,a_3)\\\\ \large\boxed{\text{M}_a(2\cdot a_2=a_1+a_3)}$

Aí fazemos o mesmo com a P.A. dada:

$2\cdot b=a+7\\\\ \underbrace{b=\dfrac{a+7}{2}}~~(i)$

E também usarmos a primeira propriedade da P.G. (média geométrica), onde o quadrado do termo central é igual ao produto dos termos extremos:

$\text{P.G.}=(a_1,a_2,a_3)\\\\ \large\boxed{\text{M}_{g}[(a_2)^2=(a_1)\cdot(a_3)]}$

Fazemos com a P.G.:

$b^2=16\cdot a\\ \underbrace{b= \sqrt{16a} }~~(ii)$

Observe que temos um sistema de equações do 1° grau, nas incógnitas a e b,

$\begin{cases}b= \dfrac{a+7}{2} ~~(i)\\\\ b= \sqrt{16a} ~~(ii)\end{cases}$

Comparando a da equação i, com a da equação ii, fazemos:

$\dfrac{a+7}{2}= \sqrt{16a}\\\\ a+7=2\cdot \sqrt{16a}\\ (a+7)^2=(2 \sqrt{16a})^2\\ a^2+14a+49=4\cdot16a\\ a^2+14a+49=64a\\\\ a^2-50a+49=0~~(eq.~do~2^o~grau)\\\\ \Delta=(-50)^2-4\cdot1\cdot49\\ \Delta=2.500-196\\ \Delta=2.304\\\\ a= \dfrac{-(-50)\pm \sqrt{2.304} }{2\cdot1} = \dfrac{50\pm48}{2}\begin{cases}a_1= \dfrac{50-48}{2} = \dfrac{2}{2}=1\\\\ a_2= \dfrac{50+48}{2}= \dfrac{98}{2} =49\end{cases}$

Vimos que a, assumiu dois valores, 1 e 49, vamos achar b..

 quando a, vale 1, então b valerá:

$b= \dfrac{a+7}{2}\\\\ b= \dfrac{1+7}{2} \\\\ b= \dfrac{8}{2}\\\\ b=4$

quando a, vale 49, então b valerá:

$b= \dfrac{49+7}{2}\\\\ b= \dfrac{56}{2}\\\\ b=28$

Observe que as alternativas indicam que apenas valerá a=1, portanto calculemos este valor, Antes, vamos achar a razão da P.A.:

$r=a_2-a_1\\ r=4-1\\\\ \overbrace{r=3}$ 

Agora, usando a fórmula do termo geral para acharmos o décimo termo:

$a_n=a_1+(n-1)r\\ a_{10}=1+(10-1)\cdot3\\ a_{10}=1+9\cdot3\\ a_{10}=1+27\\\\ \Huge\boxed{a_{10}=28}$

Logo, alternativa B.  

Tenha ótimos estudos ;D