Question

A sequência (a,b,12) é uma P.A. e (16,b,a) é uma P.G. determine a e b.

Answer 1

Usando propriedades da PA e da PG:

$b=\frac{a+12}{2} \\ \\ b=\sqrt{16a}=4\sqrt a \\ \\ 4 \sqrt a=a+12 \\ \\ 8\sqrt a = a+12$

Resolvendo a equação temos a = 4 ou a = 36

Se a = 4  -----> PA(4,8,12)         PG(16, 8 ,4)

Se a=36 -----> PA(16,26,36)      PG(16,24,36

Answer 2

$P.A(a,b,12)$

$r = b - a$
$r = 12 - b$

$b -a = 12 - b$
$b+b=12+a$
$2b=12+a$
$2b-12=a$

Guarde a equação acima.

$P.G(16,b,a)$

$r = b / 16$
$r = a / b$

$b/16=a/b$
$b*b=a*16$
$b^{2}=16a$

Como a = 2b - 12:

$b^{2}=16(2b - 12)$
$b^{2}=32b-192$
$b^{2}-32b+192=0$

$\Delta=(-32)^{2}-4*1*192$
$\Delta=1024-768$
$\Delta=256$

$b = (- b \pm\sqrt{\Delta})/2a$
$b=(-[-32]\pm\sqrt{256})/(2*1)$
$b=(32\pm16)/2$
$b=2*(16\pm8)/2$
$b=16\pm8$

$b'=16+8$
$b'=24$

$b''=16-8$
$b''=8$
___________________________

Quando b for 24:

$a = 2b - 12$
$a = 2*24 - 12$
$a = 48 - 12$
$a = 36$

Quando b for 8:

$a = 2b - 12$
$a = 2*8 - 12$
$a = 16 - 12$
$a = 4$

Soluções:

b = 24 e a = 36
a = 4 e b = 8