Question

A sequência (a,2b-a,3b,...) é uma progressão aritmética e (a,b,3a+b-1,...) é uma progressão geométrica. calcule a e b

Answer 1

 Se (a , 2b-a , 3b ,...) é uma P.A.

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$a_1=a \\ a_2=2b-a \\ a_3=3b \\ a_2-a_1=a_3-a_2 \\ \\ 2b-a-a=3b-(2b-a) \\ 2b-2a=3b-2b+a \\ 2b-2a=b+a \\ 2b-b=a+2a \\ \\\fbox{ b=3a }$

Se (a ,b ,3a +b -1,...) é uma P.G.

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$a_1=a \\ a_2=b \\ a_3=3a+b-1 \\ \\ \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} \\ \\ \frac{b}{a} = \frac{3a+b-1}{b} \\ \\ b^2=a(3a+b-1) \\ b^2=3a^2+ab-a \\ \\ se~~b=3a$

$(3a)^2=3a^2+a(3a)-a \\ 9a^2=3a^2+3a^2-a \\ 9a^2=6a^2-a \\ 9a^2-6a^2+a=0 \\ 3a^2+a=0 \\ \\ a(3a+1)=0 \\ \\ 3a+1=0 \\ 3a=-1 \\ \fbox{ a=- \frac{1}{3} } \\ \\ se \\ b=3a \\ b=3(- \frac{1}{3} ) \\ \\\fbox{ b=-1 }$