Question

A seqüência (3,x+2,3x) é uma p.g crescente. pede- se : a) calcule o valor de x ; b) obtenha a razão dessa P.G.

Answer 1

Dada a PG(3, x+2, 3x), temos os termos:

a1 = 3
a2 = x+2
a3 = 3x

logo, essa PG tem como razão (x+2)/3 e/ou 3x/(x+2).

Assim sendo, temos:

(x+2)/3=3x/(x+2) => (x+2)²=9x => x²+4x+4=9x => x²+4x-9x+4=0 => x²-5x-4=0

Este último resultado, trata-se de uma equação do 2º grau, que deve ser resolvida para encontrarmos o valor de "x".

Então seguindo:

x²-5x-4=0

Δ = b²-4ac
Δ = (-5)²-4.1.4
Δ = 25-16
Δ = 9

x = (-b+-√Δ)/2a => x = (-(-5)+-√9)/2.1 => x = (5+-3)/2

x1 = (5+3)/2 => x = 8/2 => x1=4
x2 = (5-3)/2 => x = 2/2 => x2=1

A PG não seria crescente se "x" fosse igual a 1, logo, o único resultado plausível para o valor de "x" é "x = 4".

Agora que temos o valor de "x", basta trocarmos esse valor em qualquer dos dois membros da equação  "(x+2)/3=3x/(x+2)" para obtermos a razão "r" da PG. 

Então, seguindo:

r = (x+2)/3 => r = (4+2)/3 => r = 6/3 => r = 2.

Concluindo, a PG(3, x+2, 3x) é igual PG(3, 6, 12), onde "x = 4" e a razão
"r = 2".