A sequência (2x+5, x+1, x/2, . . .) com x pertencente aos reais é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo oitavo termo dessa sequência é:
DICA: Compare as razões da PG. Cálculo
Soluções para a tarefa
Explicação passo a passo:
seja a PG com termos
a1= ( 2x + 5 )
a2 = ( x + 1 )
a3 = x/2
Pelas propriedades de 3 termos das PG temos
a3 * a1 = ( a2)²
x/2* ( 2x + 5 ) = ( x + 1 )²
[ 2x + 5 ).x] /2 = [ ( x)² + 2 * 1 * x + ( 1)¹ ]
[2x² + 5x ]/2 ( x² + 2x + 1 )/1
multiplica m cruz
1 * ( 2x² + 5x ) = 2 ( x² + 2x + 1 )
2x² + 5x = 2x² + 4x + 2
passando termos do segundo membro para o primeiro com todos sinais trocados
2x² + 5x - 2x² - 4x - 2 = 0
elimina 2x² com - 2x²
5x - 4x - 2 = 0
+5x - 4x = ( +5 - 4)x = + 1x >>> soma ou subtração de sinais diferentes diminui dá sinal do maior
reescrevendo
1x - 2 = 0
passando 2 para segundo membro com sinal trocado
1x = 2 >>>>>>>
Os termos são >>>
a1 = 2x + 5 ou 2 ( 2) + 5 = 4 + 5 = 9 >>>>>
a2= x + 1 ou 2 + 1 = 3 >>>>>
a3 = x/2 = 2/2 =1 >>>>
q = 3 : 9 = 3/9 ou 1/3 >>>>>
an = a1 * q^n-1
a18 =a1 * q^17
a18 = 9 * ( 1/3)^17
a18 = 9 * 1/129140163
a18 = 9/129140163 =por 9 = 1/14 348 907
Resposta:
a18 = 3^(-15)
Explicação passo a passo:
a1 = 2x + 5
a2 = x + 1
a3 = x / 2
n = 18
a18 = ?
x = ? = q₁ = q₂
q₁ → (a2 / a1) → (x + 1) / (2x + 5)
q₂ → (a3 / a2) → (x / 2) / (x + 1) → x / (2x + 2)
x = (q₁ = q₂)
x = (x + 1) / (2x + 5) = x / (2x + 2)
Regra de Três Simples:
x = (x + 1) . (2x + 2) = (2x + 5) . x
Expandir:
x . 2x + x . 2 + 1 . 2x + 1 . 2 = 2x . x + 5 . x
2x² + 2x + 2x + 2 = 2x² + 5x
2x² + 4x + 2 = 2x² + 5x
Trocar de lado:
2x² + 5x = 2x² + 4x + 2
Eliminar fatores iguais da igualdade:
5x = 4x + 2
5x - 4x = 2
x = 2
a1 = 2x + 5 → 2 . 2 + 5 → 4 + 5 → 9
a2 = x + 1 → 2 + 1 → 3
a3 = x / 2 → 2 / 2 → 1
q= a3 / a2 = 1 / 3
an = a1 • q^(n–1)
a18 = 9 • (1/3)^(18–1)
a18 = 9 • (1/3)^17
a18 = 9 • 1^17 / 3^17
a18 = 9 • 1 / 3^17
a18 = 9 / 3^17
a18 = 3^2 / 3^17
a18 = 3^(2 - 17)