Question

A sequencia(1; x-1; x+5; ...) é uma progressão geométrica estritamente crescente, cujo sexto termo é:
A) 1024 B) 729 C)512 D)243 E)81

Answer 1

Olá.

$P.G.: (1, x-1, x+5, ...)$

As progressões geométricas possuem uma propriedade que diz que o quadrado de um termo é equivalente ao produto entre os seus 'vizinhos'. Portanto, nesta situação pode-se usar esta propriedade para encontrar primeiro o x. Observe:
$(x-1)^2= 1 \cdot (x+5) \\ \\ x^2-2x+1= x+5 \\ \\ x^2-2x-x+1-5= 0 \\ \\ x^2-3x-4= 0$

Como temos uma equação do segundo grau, pode-se resolver pelo método que você preferir. Vou utilizar o método de fatoração:
$x^2-3x-4= 0 \\ \\ (x-4) \cdot (x+1) = 0 \\ \\ \\ x= 4 ~~~~~~~ x= -1$

Testando os valores na sequência, é possível concluir que x assumirá o valor de
$\boxed{x= 4}$

Portanto, a sequência será:
$P.G.: (1, 3, 9,...)$

Sabendo a sequência, é possível encontrar qualquer um dos termos. Perceba:
$An = a1 \cdot q^{n-1} \\ \\ a6= a1 \cdot q^{6-1} \\ \\ a6= a1 \cdot q^{5} \\ \\ a6= 1 \cdot 3^5 \\ \\ \boxed{\boxed{a6= 243}}$

Obs.: A razão (q) de uma P.G. é dada pela divisão de um termo pelo seu antecessor.