Question

a sequencia (1,a,b) é uma progressao aritmetica e a sequencia(1,b,a)é uma progressao geometrica nao constante.o valor de (a) é:

Answer 1

Se P.A.(1,a,b), então:
$b-a=a-1\\ b=a+a-1\\ \boxed{b=2a-1}$

Se P.G.(1,b,a), então:
$\frac{a}{b}=\frac{b}{1}$
Assim temos:
$\boxed{b=2a-1} \ e \ \boxed{a=b^2}\\\\ a=b^2\\ a=(2a-1)^2\\ a=4a^2-4a+1\\ 0=4a^2-4a+1-a\\ 4a^2-5a+1=0\\ \Delta=b^2-4.a.c=(-5)^2-4.4.1=25-16=9\\ a_1=\frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-(-5)+ \sqrt{9} }{2.4}=\frac{5+3}{8}=\frac{8}{8}=1\\ a_2=\frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{-(-5)- \sqrt{9} }{2.4}=\frac{5-3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

O valor 1 encontrado para a não serve pois a PG ficaria uma PG constante.

$b=2a-1\\ b=2.\frac{1}{4}-1=\frac{2}{4}-1=\frac{1}{2}-1=\frac{-1}{2}$

PG($1,\frac{-1}{2},\frac{1}{4}$)