Question

A sequência 1, 9, 36, x, 126, 84, 36, 9, 1 é uma linha do triângulo de Pascal. Determine x.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

O Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

...

Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).

NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.

Apresentando a fórmula matemática para esta propriedade:

sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).

Tal fórmula prova-se por indução matemática em n.

Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.

Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da indução para um determinado valor e disse que o mesmo sucederia para os restantes.

A 20ª consequência que Blaise Pascal retirou do triângulo foi a seguinte:

Também esta fórmula pode ser demonstrada usando o método da indução.

Com as 20 consequências que Pascal retirou do triângulo, foi-lhe possível chegar ao resultado

Usando o método da indução, ele chegou ainda à conclusão que

ou seja, ao número de combinações de n elementos k a k.

Também mostrou que as linhas do triângulo correspondem aos coeficientes da potência de a na expansão de

Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi também pioneiro.

Voltar ao início da pág.

Outras propriedades do triângulo de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 106 106 84 36 9 1

...

É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos equidistantes aos extremos do triângulo iguais, ou seja em linguagem matemática, nCp= nCn-p com n, pÎN0, n³p.

Encontramos também os números naturais aqui, na 2ª diagonal. Quando um deles for primo (isto é, apenas divisível por ele próprio e por 1) então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisíveis por ele.

Temos como exemplo na linha 7:

1 7 21 35 35 21 7 1

como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.

Voltar ao início da pág.

Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2.

Assim temos

Linha 0: 20=1

Linha 1: 21=2

Linha 2: 22=4

Linha 3: 23=8

...