A senhora Helena pretende passar 24 meses na Europa fazendo um curso de pós- graduação. Ela estima que precisará ter uma renda mensal de R$ 4.500,00 começando com a sua chegada à Europa. Para atingir seu objetivo, ela precisará aplicar um valor X, a juros compostos, à taxa de 1,6% a.m., 60 meses antes do 1º saque de R$ 4.500,00. Qual o valor de X?
Soluções para a tarefa
Resposta:
RS$34.925,46 <= Valor do Capital Inicial da Aplicação (valor aproximado)
Explicação passo-a-passo:
Temos 2 tipos de aplicações:
=> Uma capitalização durante 60 meses de um Capital Inicial a determinar
=> Uma Série Uniforme antecipada com uma PMT (mensal) de 4.500 e com um prazo de 24 meses
...como apenas sabemos o Valor da PMT (prestação mensal) e o valor da taxa de juro das 2 aplicações (Mensal - 0,016) ...isso implica que temos de começar a resolução da "frente para trás"
..Por outras palavras temos de calcular o Valor Presente da Série Uniforme Antecipada (para o "momento" da 1ª prestação) ..e esse Valor Presente será o Montante da aplicação inicial.
Resolvendo:
Formula da Série (antecipada):
PV = PMT . { [(1 + i)ⁿ - 1] / [(1 + i)ⁿ⁻¹ . i] }
Onde
PV = Valor Presente, neste caso a determinar
PMT = Valor da prestação mensal, neste caso 4500
n = Prazo da aplicação, neste caso n = 24
i = Taxa de juro da aplicação, neste caso i = 1,6% ..ou 0,016
Substituindo:
PV = PMT . { [(1 + i)ⁿ - 1] / [(1 + i)ⁿ⁻¹ . i] }
PV = 4500 . { [(1 + 0,016)²⁴ - 1] / [(1 + 0,016)²³ . 0,016] }
PV = 4500 . { [(1,016)²⁴ - 1] / [(1,016)²³ . 0,016] }
PV = 4500 . { [(1,46368961..) - 1] / [(1,440639382..) . 0,016] }
PV = 4500 . [(0,46368961..) / (0,02305023]
PV = 4500 . (20,116485...)
PV = 90524,183 <= Valor que é simultaneamente o Valor Presente da Série Uniforme Antecipada e o Montante Final da Aplicação inicial
Agora que sabemos o Montante Final da Aplicação ...vamos calcular qual foi o seu capital inicial
Temos a fórmula:
M = C . ( 1 + i)ⁿ
Substituindo:
90524,183 = C . (1 + 0,016)⁶⁰
90524,183 = C . (1,016)⁶⁰
90524,183 = C . (2,591925276)
90524,183 / 2,591925276 = C
34925,46 = C <= Valor do Capital Inicial da Aplicação (valor aproximado)
Espero ter ajudado
A resposta final é R$34.925,46.
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A resolução dessa pergunta deve ser feita em duas partes, divididas por investimentos diferentes, um de 60 e outros de 24 meses. É importante destacar que o enunciado não comenta da quantidade de investimentos (eis a "pegadinha").
O primeiro investimento, de 60 meses, terá como capital um valor x que depende do segundo investimento.
O segundo investimento, de 24 meses, pode ser visto como o pagamento de uma "dívida" em 24 parcelas iguais de R$4.500. O valor inicial dessa dívida - ou seja, o valor presente - será o montante final do primeiro investimento.
Como o "pagamento das parcelas" vai acontecer logo no começo do investimento, temos uma Série Uniforme Antecipada. Para o cálculo do Valor Presente, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
PV: valores presente, o que queremos descobrir;
P: valor de cada parcela - ou seja, valor das retiradas, R$4.500;
i: taxa de juros, ou seja, 1,6% que equivale a 0,016;
n: tempo de investimento, ou seja, 24.
Vamos aos cálculos do valor presente.
Temos o valor do valor presente, que podemos arredondar para 90.524,183298865.
O segundo investimento, segunda parte da resolução, pode ser calculado a partir da fórmula para juros compostos, que segue:
Onde:
M: montante, ou seja, o valor da série, 90.524,183298865;
C: capital, x, o que desejamos saber;
i: taxa de juros, ou seja, 1,6% que equivale a 0,016;
n: tempo do primeiro investimento, ou seja, 60.
Vamos aos cálculos do capital inicial.
A resposta final é R$34.925,46.
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Para fins de demonstração, adicionei em anexo uma imagem que mostra o saldo do investimento antes de cada saque. Seguindo a lógica de "dívida", a imagem representa a quantidade que faltava para "pagar".
