Question

A senha de acesso ao wifi do Hospital deve ser composta de 2 letras e 3 algarismos, sem repetir letras e sem repetir algarismos. Qual é o total de senhas diferentes que podem ser compostas?

a) 358.000

b) 468.000

c) 568.000

d) 658.000

e) 758.000

Answer 1

Resposta: b) 468.000 senhas

Resolução:

Comecemos por relembrar que, usando o alfabeto português atual, dispomos de 26 letras, e que existem 10 algarismo.

Podemos pensar na senha do wi-fi como um espaço de 5 dígitos:

$\text{Senha do Wi-fi:}\;\;\;\underline{\quad}\;\underline{\quad}\;\underline{\quad}\;\underline{\quad}\;\underline{\quad}$

Destes 5 espaços, sabemos que 2 deles serão ocupados por letras e 3 serão ocupados por algarismos.

Sabemos também que a ordem dos termos interessa e que estes não se repetem, o que nos leva a usar Arranjos Simples  $\left(A_k^n\right)$, cujo valor é calculado pela fórmula seguinte:

$A_k^n=\dfrac{n!}{(n-k)!}$

Sabendo disto, podemos iniciar a resolução.

Vamos começar por pensar nas letras:

Temos 26 letras disponíveis para preencher 2 espaços, sem que estas se repitam. Podemos definir isto com o Arranjo Simples  $A_2^{26}$.

Pensemos agora nos algarismos:

Temos 10 algarismos disponíveis para preencher 3 espaços, sem que estes se repitam. Podemos definir isto com o Arranjo Simples  $A_3^{10}$.

Com tudo isto em mente, podemos calcular o número de senhas diferentes que é possível criar nestas condições, multiplicando estes Arranjos.

    $N^o\;de\;Senhas=A_2^{26}\times A_3^{10}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow N^o\;de\;Senhas=\dfrac{26!}{(26-2)!}\times \dfrac{10!}{(10-3)!}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow N^o\;de\;Senhas=\dfrac{26\times25\times\,\not\!\!\!\!24!}{\not\!\!\!\!24!}\times \dfrac{10\times9\times8\,\times\not\!\!7!}{\not\!\!7!}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow N^o\;de\;Senhas={26\times25\times10\times9\times8\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow N^o\;de\;Senhas=468.000$

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