Question

a) Sen 2x = -1
b) 1+ tg x = 0
c) cos 3x = 0

Answer 1

A) $\mathrm{sen\,}2x=-1$

$\mathrm{sen\,}2x=\mathrm{sen}\left(\,^{-\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{2} \right )\\ \\ \begin{array}{rcl} 2x=-\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&2x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{2} \right )+k\cdot 2\pi\\ \\ 2x=-\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&2x=\pi+\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\\ \\ 2x=-\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&2x=\dfrac{2\pi+\pi}{2}+k\cdot 2\pi\\ \\ 2x=-\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&2x=\dfrac{3\pi}{2}+k\cdot 2\pi\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi&\text{ ou }&x=\dfrac{3\pi}{4}+k\cdot \pi \end{array}$

onde $k$ é um número inteiro.


As duas soluções acima são equivalentes, pois a diferença entre os arcos $\,^{-\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}$ e $\,^{3\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}$ é um múltiplo inteiro de $\pi$. Logo, o conjunto solução desta equação é

$S=\left\{x \in \mathbb{R} \left|\;x=-\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi,\;\;k \in \mathbb{Z}\right.\right \}$


B) $1+\mathrm{tg\,}x=0$

$\mathrm{tg\,}x=-1\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\mathrm{tg}\left(\,^{-\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4} \right )\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k \cdot \pi$

onde $k$ é um número inteiro.


A solução desta equação é

$S=\left\{x \in \mathbb{R} \left|\;x=-\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi,\;\;k \in \mathbb{Z}\right.\right \}$


C) $\cos 3x=0$

$\cos 3x=\cos \left(\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{2} \right )\\ \\ 3x=\pm \dfrac{\pi}{2}+k \cdot 2\pi\\ \\ x=\pm \dfrac{\pi}{6}+k \cdot \dfrac{2\pi}{3}\\ \\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{\pi}{6}+k \cdot \dfrac{2\pi}{3}&\text{ ou }&x=- \dfrac{\pi}{6}+k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \end{array}$

onde $k$ é um número inteiro.


O conjunto solução desta equação é

$S=\left\{x \in \mathbb{R} \left|\;x=\dfrac{\pi}{6}+k \cdot \dfrac{2\pi}{3}\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{\pi}{6}+k \cdot \dfrac{2\pi}{3},\;\;k \in \mathbb{Z}\right.\right \}$