Question

(a) Sejam os vetores u = (1;-1; 1)t e v = (2;-3;-1)t pertencentes ao
espaço vetorial IR3, sendo t representando o transposto. Encontre
a projeção de v sobre u, proju(v).
(b) Determine o subespaço S ⊆ IR3, gerado pelos vetores u e v.
(c) Determine uma base ortonormal para S.

Answer 1

Resposta:

Explicação:

a) A projeção de $v$ sobre $u$ é dada por:

$proj_u(v) = \frac{<v,u>}{<u,u>}u = \frac{(2,-3,-1).(1,-1,1)}{(1,-1,1).(1,-1,1)}(1,-1,1) =\frac{2+3-1}{1+1+1}(1,-1,1) = \frac{4}{3}(1,-1,1)$

$proj_u(v) = (\frac{4}{3},-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$

b) O subespaço $S$ ⊆ $R^3$ gerado pelos vetores  $v$ e $u$ é todo vetor que é ortogonal ao plano gerado por esses vetores. O produto vetorial de $u$ por $v$, ou seja, $u$ x $v$,  é um vetor denotado por $N$ que é ortogonal ao par {$u$,$v$} e portanto qualquer vetor pertencente ao plano gerado por {$u$,$v$} também será ortogonal a $N$.

Inicialmente vamos achar $N$:

$N = u X v=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&1\\2&-3&-1\end{array}\right] = (1+3)i + (2+1)j + (-3+2)k = 4i + 3j - k$

⇒ $N = (4,3,-1)$

Agora considere um vetor genérico denotado por $A = (x,y,z)$ pertencente ao subspaço $S$ gerado por {$u$,$v$}, então como $A$ ∈ $S$ temos que o produto interno entre $A$ e $N$ deve ser necessariamente zero, ou seja:

$<A,N> = 0$

$(x,y,z).(4,3,-1) = 4x+3y-z = 0$    ----> (*)

Portanto, todo vetor $A$ tal que suas coordenadas $x$, $y$ e $z$, satisfazem a equação (*) são vetores pertencentes ao substapaço $S$. Matematicamente escrevemos:

$S$ ⊆ $R^3$ = $\{(x,y,z) | 4x+3y-z=0\}$.

c) São necessários três passos:

1°: Escolher qualquer um dos dois vetores {$u$,$v$} e normaliza-lo. Vou escolher $u$ por conveniência (mas poderia ter sido $v$ sem nenhuma perda de generalidade).

$u' = \frac{u}{\sqrt{<u,u>}} = \frac{(1,-1,1)}{\sqrt{(1,-1,1).(1,-1,1)}} = \frac{(1,-1,1)}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1) = (\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

2°: Encontrar um vetor que é ortogonal ao vetor escolhido no 1° passo, nesse caso, o vetor $u$ (observe que o vetor que vamos encontrar aqui também será ortogonal ao vetor $u'$ já que $u$ e $u'$ são paralelos).

Lembre-se que no item a) encontramos a projeção de $v$ sobre $u$, então existe um segundo vetor que vou denominar $v'$ tal que $v'$ mais $proj_u(v)$ é o próprio $v$. Você pode entender o vetor projeção, $proj_u(v)$, como sendo uma componente do vetor $v$, então $v'$ é a segunda componente, ou seja:

$v = proj_u(v) + v'\\v' = v - proj_u(v)\\v' = (2,-3,-1) - (\frac{4}{3},-\frac{4}{3},\frac{4}{3})\\v' = (\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{7}{3})$

3°: Normalizar o vetor encontrado no 2° passo:

$v'' = \frac{v'}{\sqrt{<v',v'>}} = \frac{(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{7}{3})}{\sqrt{(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{7}{3}).(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{7}{3})}} = \frac{(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{7}{3})}{\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{25}{9}+\frac{49}{9}}} = \frac{(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{7}{3})}{\sqrt{\frac{78}{9}}}\\v'' = \frac{3}{\sqrt{78}}(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{7}{3})\\v'' = (\frac{2}{\sqrt{78}}, -\frac{5}{\sqrt{78}}, -\frac{7}{\sqrt{78}})$

Portanto os vetores $u'$ e $v''$ são ditos ortonormais pois são ortogonais entre si e além disso possuem norma 1.

Logo, o conjunto {$u'$,$v''$} é uma base ortonormal para $S$.

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Como é muito cálculo se algum erro for encontrado por favor colocar nos comentários para que seja corrigido a posteriori e a solução atualizada.