Question

A seguir tem-se o esquema da entrada de um túnel que possui o formato de um arco parabólico e que está sendo reformado. Para reforçar seu interior será colocada uma viga de concreto conforme está representado na imagem a seguir. Sabe-se que a equação do contorno da parábola do túnel é y = - x2 + 8x A que altura a base da viga estará do vértice do túnel?

Answer 1

Assumimos que a primeira raiz intercepta a origem, no ponto  $C = (0,0)$. A segunda raiz interceptará no ponto  $D= (8,0)$.

Observe que a questão pede o vértice em y da função cujas raízes são os ponto a e b.

Seja k e m as raízes de uma função qualquer. Podemos escrevê-la da seguinte maneira:

$f(x) = a(x-k)(x-m)$

Transladando a reta AB para a horizontal(observe a imagem em anexo). Observe que as raízes são iguais a 2 e 6. Aplicando nossa fórmula:

$f(x)= a(x-k)(x-m)$

$f(x) = -1\cdot(x-2)(x-6)$

$f(x)=-1\cdot(x^2-8x+12)$

$f(x)= -1\cdot(x^2-8x+16-4)$

$f(x)= -1\cdot\left[(x-4)^2-4\right]$

$f(x)=-(x-4)^2 +4$

Pela forma canônica:

$f(x)= a(x-V_x)^2+V_ y$

Conclui-se que a altura h é igual a $\boxed{4}$.

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{h=4}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos algumas propriedades das parábolas.

Como podemos ver, a distância entre as raízes, isto é, os pontos que a parábola intercepta o eixo das abcissas é 8. Isto significa que a diferença entre as raízes é 8.

Porém, podemos encontrar exatamente quais são estes pontos, ao igualarmos a equação dada a zero:

$-x^2+8x=0$

Esta é uma equação quadrática incompleta. Para resolvê-la, fatoraremos a incógnita da seguinte maneira:

$x\cdot (-x+8)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo:

$x=0$ ou $-x+8=0$

Isolando a incógnita na segunda equação, temos

$x=8$

Então, os pontos em que a parábola intercepta o eixo são $(0,~0)$ e $(8,~0)$.

Observe a imagem: A distância destes pontos para os pontos A e B é de 2 metros na horizontal. Facilmente, podemos descobrir que os pontos são $A~(2,~12)$ e $B~(6,~12)$

Então, para finalizarmos a resolução, preste atenção na imagem

A reta que une os pontos A e B está na mesma altura, ou seja, ela é a reta $y=12$. Isto significa que quaisquer outros pontos pertencentes a ela estarão no intervalo de 0 a 8 e terão altura 12.

As coordenadas $(x_v,~y_v)$ do vértice da parábola podem ser calculadas a partir da fórmula:

$x_v=-\dfrac{b}{2a}$ e $y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}$, tal que $\Delta=b^2-4ac$ e a, b e c sejam os coeficientes da equação.

Substituindo os coeficientes $a=-1,~b=8$ e $c=0$, temos

$x_=-\dfrac{8}{2\cdot(-1)}$ e $y_v=-\dfrac{8^2-4\cdot(-1)\cdot0}{4\cdot(-1)}$

Multiplicando os valores e simplificando as frações, obtemos

$x_v=4$ e $y_v=16$

Como a altura h une o vértice à reta AB, sabemos então que o ponto em que este segmento toca a reta será o ponto $(x_v,~12)$

Substituindo o ponto do vértice, teremos o ponto $(4,~12)$

Por fim, isto significa que h é a diferença entre a altura do ponto do vértice e a reta $y = 12$

Fazendo $16-12=4$, obtemos a nossa resposta.