Question

A seguir são dadas duas progressões geométricas crescentes A=(a,b,c) e B=(x,y,3+x). A mediana da progressão A é igual a 2 e b=y. Quais são os valores do primeiro e último termo da progressão geométrica B de razão positiva?

Answer 1

Os valores do primeiro e último termo da progressão geométrica B de razão positiva são: 1 e 4.

A mediana é o termo central.

Sendo a sequência a, b, c, temos que o termo central é b. Logo, b = 2 = y.

A progressão geométrica B é da forma B = (x,2,3+x).

Como temos uma PG, então podemos dizer que:

x(3 + x) = 2²

3x + x² = 4

x² + 3x - 4 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 3² - 4.1.(-4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

$x=\frac{-3+-\sqrt{25}}{2}$

$x=\frac{-3+-5}{2}$

$x'=\frac{-3+5}{2}=1$

$x''=\frac{-3-5}{2}=-4$.

Se x = 1, temos que B = (1,2,4).

Se x = -4, temos que B = (-4,2,-1).

Porém, o enunciado diz que a razão da PG B é positiva. Portanto, o primeiro termo é 1 e o último termo é 4.