Question

a) Se x² = 4, então x^6 = 64
b) Se x^6 = 64, então x = 2.
Por que a afirmação da letra “a” é verdadeira e a da letra “b” é falsa?

Answer 1

Resposta:

Por que $(-2)^{6}$ também é igual a 64.

Explicação passo-a-passo:

Todo número elevado a um expoente par resultará em uma potência positiva, ou seja, sempre existem dois números de sinais opostos que resultam no mesmo valor. Nesse caso, temos os números 2 e -2 e, se elevarmos ambos ao quadrado, obteremos o mesmo resultado:

$(2)^{2}=(2).(2)=4\\(-2)^{2}=(-2).(-2)=4$

O mesmo acontecerá com o expoente 6, que também é par.

$(2)^{6}=(2).(2).(2).(2).(2).(2)=64\\(-2)^{6}=(-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2)=64$

Isso acontece por causa das regras de sinais, sempre que a multiplicação ou divisão entre uma quantidade par de termos tiver sinais iguais, o resultado será positivo ("sinais iguais, mais"). Dessa forma, podemos afirmar que, se $x^{2} =4$ então com certeza $x^{6} =64$, mas se $x^{6}=64$, não necessariamente x = 2 pois há um outro valor possível: $x=-2$.

Answer 2

Resposta: A afirmação em a) é verdadeira, pois, para $x$  e $y$ reais, com $y\geq 0$, a implicação $x^{2}=y\ \ \Rightarrow\ \ (x^{2})^{3}=y^{3}$ também é verdadeira. A afirmação em b) é falsa, ao passo que, para $x$ e $y$ reais, com $y>0$, a implicação $x^{6}=y\ \ \Rightarrow\ \ x=\sqrt[6]{y}$ é falsa.

Segue abaixo a explicação generalizada sobre a veracidade da implicação explícita no item a):

Sabe-se que a função proposicional (sentença aberta) $x^{2}=y$, com $y\ \in\ \mathbb{R}_{+}$, é o antecedente e $(x^{2})^{3}=x^{6}=y^{3}$ é o consequente da implicação $x^{2}=y\ \ \Rightarrow\ \ (x^{2})^{3}=y^{3}$; que é verdadeira para todo $y$ real e não negativo. O que equivale, em linguagem matemática, a: $\forall\ y\ \in\ \mathbb{R}_{+}$. Tal implicação é sempre válida, ao passo que elevar à terceira potência ambos os membros de uma igualdade já verdadeira, a torna uma outra também verdadeira. Assim sendo, é verdade que:

 

$x^{2}=y\ \ \Rightarrow\ \ (x^{2})^{3}=y^{3},\ \forall\ y\ \in\ \mathbb{R}_{+}$

Segue a explicação generalizada e que diz respeito à falsidade da implicação explícita no item b):

É sabido que a sentença aberta $x^{6}=y$, sendo $y\ \in\ \mathbb{R}^{*}_{+}$, é o antecedente e $x=\sqrt[6]{y}$ é o consequente da implicação $x^{6}=y\ \ \Rightarrow\ \ x=\sqrt[6]{y}$; sendo $y$ real e positivo. O que também pode ser escrito, em símbolos, por: $y\ \in\ \mathbb{R}^{*}_{+}$. Tal implicação é sempre falsa, ao passo que se desconhece o sinal de $x$. A falsidade dela está diretamente associada à existência de duas propriedades notáveis envolvendo os números reais, que por sua vez são dadas por: $\sqrt{x^{2}} =|x|,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}$ e $(-x)^{2}=x^{2},\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}$. Sendo assim, desenvolveremos o antecedente $x^{6}=y$, e com isso mostraremos que ele não acarreta o consequente $x=\sqrt[6]{y}$. Logo:

$x^{6}=y$  ⇒

$(x^{2})^{3}=y$  ⇒

$[(x^{2})^{3}]^{\frac{1}{3}}=y^{\frac{1}{3}}$  ⇒

$x^{2}=y^{\frac{1}{3}}\ \ \ e\ \ \ y\ \in\ \mathbb{R}^{*}_{+}$  ⇒

$(x^{2})^{\frac{1}{2}}=(y^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}$  ⇒

$(x^{2})^{\frac{1}{2}}=y^{\frac{1}{6}}$  ⇒

$\sqrt{x^{2}} =\sqrt[6]{y}$  ⇒

$|x|=\sqrt[6]{y}\ \ \ \ (i)$

De $(i)$ perceba que $x$ pode ser positivo ou negativo, ou seja, $x=\sqrt[6]{y}$ ou $x=-\sqrt[6]{y}$. A explicação da dupla possibilidade de sinal para $x$ dá-se pelo fato do $|x|$ ser igual a $x$ ou $-x$. Também é sabido que para valores não nulos de $x$ ($x\neq 0$), existem sempre dois valores distintos para $|x|$, ou seja, $|x|=x$, se $x>0$ e $|x|=-x$, se $x<0$. Disso, a expressão $(i)_$ fica:

$|x|=\sqrt[6]{y}$  ⇒

$x=\sqrt[6]{y}\ \ \ ou\ \ \ x=-\sqrt[6]{y}\ \ \ \ (ii)$

De $(ii)$, temos que existem dois valores possíveis para $x$, que são eles: $x=\sqrt[6]{y}$  ou  $x=-\sqrt[6]{y}$. O item b) está afirmando que existe um único valor para $x$ ($x=\sqrt[6]{y}$), o que é absurdo, pois $x$ também pode ser o simétrico de $\sqrt[6]{y}$. Ou seja, também é valido que  $x=-\sqrt[6]{y}$. Isso explica, de uma maneira generalizada, o porquê da implicação explícita no item b) ser falsa.

Abraços!