Question

A rotacional R do campo vetorial E =yî em R2 é:

Answer 1

Utilizando calculo geral de rotacionais, temos que este rotacional vale o velor unitário na direção k, porém note que a pergunta é dentro de R², ou seja, não existe a direção k neste espaço, logo, este resultado é simplesmente um valor no espaço representado pela unidade 1.

Explicação passo-a-passo:

O rotacional é calculado da seguinte forma para qualquer campo vetorial da forma f(x,y,z) = Ai + Bj + Ck:

$\vec \nabla \times \vec f(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}A&B&C\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ \hat i&\hat j&\hat k\end{array}\right]$

Assim como a nossa função dada por:

$\vec f(x,y,z)=y\hat i$

Então nosso rotacional fica sendo o determinante de:

$\vec \nabla \times \vec f(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}y&0&0\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ \hat i&\hat j&\hat k\end{array}\right]=\frac{\partial y}{\partial y}\hat k=1 \hat k = \hat k$

Assim temos que este rotacional vale o velor unitário na direção k, porém note que a pergunta é dentro de R², ou seja, não existe a direção k neste espaço, logo, este resultado é simplesmente um valor no espaço representado pela unidade 1.